(a) Applying <em>T</em> to <em>p(t)</em> = 2 - <em>t</em> + <em>t</em> ² gives
<em>T</em> ( <em>p(t)</em> ) = (<em>t</em> - 2) (2 - <em>t</em> + <em>t</em> ²) = -4 + 4<em>t</em> - 3<em>t</em> ² + <em>t</em> ³
(b) <em>T</em> is a linear transformation if for any <em>p(t)</em> and <em>q(t)</em> in <em>P</em>₂ and complex scalars <em>a</em> and <em>b</em>, the image of any linear combination of <em>p</em> and <em>q</em> is equal to the linear combination of the images of <em>p</em> and <em>q</em>. In other words,
<em>T</em> ( <em>a</em> <em>p(t)</em> + <em>b</em> <em>q(t)</em> ) = <em>a</em> <em>T</em> ( <em>p(t)</em> ) + <em>b</em> <em>T</em> ( <em>q(t)</em> )
Let
<em>p(t)</em> = <em>α</em>₀ + <em>α</em>₁ <em>t</em> + <em>α</em>₂ <em>t</em> ²
<em>q(t)</em> = <em>β</em>₀ + <em>β</em>₁ <em>t</em> + <em>β</em>₂ <em>t</em> ²
Compute the images of <em>p</em> and <em>q</em> :
<em>T</em> ( <em>p(t)</em> ) = (<em>t</em> - 2) (<em>α</em>₀ + <em>α</em>₁ <em>t</em> + <em>α</em>₂ <em>t</em> ²)
… = -2<em>α</em>₀ + (<em>α</em>₀ - 2<em>α</em>₁) <em>t</em> + (<em>α</em>₁ - 2<em>α</em>₂) <em>t</em> ² + <em>α</em>₂ <em>t</em> ³
Similarly,
<em>T</em> ( <em>q(t)</em> ) = -2<em>β</em>₀ + (<em>β</em>₀ - 2<em>β</em>₁) <em>t</em> + (<em>β</em>₁ - 2<em>β</em>₂) <em>t</em> ² + <em>β</em>₂ <em>t</em> ³
Then
<em>a</em> <em>T</em> ( <em>p(t)</em> ) + <em>b</em> <em>T</em> ( <em>q(t)</em> ) = <em>a</em> (-2<em>α</em>₀ + (<em>α</em>₀ - 2<em>α</em>₁) <em>t</em> + (<em>α</em>₁ - 2<em>α</em>₂) <em>t</em> ² + <em>α</em>₂ <em>t</em> ³) + <em>b</em> (-2<em>β</em>₀ + (<em>β</em>₀ - 2<em>β</em>₁) <em>t</em> + (<em>β</em>₁ - 2<em>β</em>₂) <em>t</em> ² + <em>β</em>₂ <em>t</em> ³)
… = <em>c</em>₀ + <em>c</em>₁ <em>t</em> + <em>c</em>₂ <em>t</em> ² + <em>c</em>₃ <em>t</em> ³
where
<em>c</em>₀ = -2 (<em>a</em> <em>α</em>₀ + <em>b</em> <em>β</em>₀)
<em>c</em>₁ = <em>a</em> (<em>α</em>₀ - 2<em>α</em>₁) + <em>b</em> (<em>β</em>₀ - 2<em>β</em>₁)
<em>c</em>₂ = <em>a</em> (<em>α</em>₁ - 2<em>α</em>₂) + <em>b</em> (<em>β</em>₁ - 2<em>β</em>₂)
<em>c</em>₃ = <em>a</em> <em>α</em>₂ + <em>b</em> <em>β</em>₂
Computing the image of <em>a</em> <em>p(t)</em> + <em>b</em> <em>q(t)</em> would give the same result; just multiply it by <em>t</em> - 2 and expand. This establishes that <em>T</em> is indeed linear.
(c) Find the image of each vector in the basis for <em>P</em>₂ :
<em>T</em> (1) = (<em>t</em> - 2) × 1 = <em>t</em> - 2
<em>T</em> (<em>t</em> ) = (<em>t</em> - 2) <em>t</em> = <em>t</em> ² - 2<em>t</em>
<em>T</em> (<em>t</em> ²) = (<em>t</em> - 2) <em>t</em> ² = <em>t</em> ³ - 2<em>t</em> ²
Then