Question

1. Derive this identity from the sum and difference formulas for cosine:

Answer 1

$\bf \begin{cases} cos({{ a}} + {{ b}})= cos({{ a}})cos({{ b}})- sin({{ a}})sin({{ b}})\\\\ cos({{ a}} + {{ b}})+sin({{ a}})sin({{ b}})=\boxed{cos({{ a}})cos({{ b}})}\\\\ --------------------\\\\ cos({{ a}} - {{ b}})= cos({{ a}})cos({{ b}}) + sin({{ a}})sin({{ b}})\\\\ cos({{ a}} - {{ b}})-sin({{ a}})sin({{ b}})=\boxed{cos({{ a}})cos({{ b}})} \end{cases}\\\\ -----------------------------$

$\bf cos(a)cos(b)=cos(a)cos(b)\qquad thus \\\\\\ cos({{ a}} + {{ b}})+sin({{ a}})sin({{ b}})=cos({{ a}} - {{ b}})-sin({{ a}})sin({{ b}}) \\\\\\ sin({{ a}})sin({{ b}})+sin({{ a}})sin({{ b}})=cos({{ a}} - {{ b}})-cos({{ a}} + {{ b}}) \\\\\\ 2sin({{ a}})sin({{ b}})=cos({{ a}} - {{ b}})-cos({{ a}} + {{ b}}) \\\\\\ sin({{ a}})sin({{ b}})=\cfrac{cos({{ a}} - {{ b}})-cos({{ a}} + {{ b}})}{2} \\\\\\ sin({{ a}})sin({{ b}})=\cfrac{1}{2}cos({{ a}} - {{ b}})-cos({{ a}} + {{ b}})$