Take note of the domain of possible solutions:
• √(2<em>x</em> + 1) is defined for 2<em>x</em> + 1 ≥ 0, or <em>x</em> ≥ -1/2
• √(<em>x</em> + 1) is defined for <em>x</em> + 1 ≥ 0, or <em>x</em> ≥ -1
So any solutions to this equation must fall in the interval <em>x</em> ≥ -1/2, or [-1/2, ∞).
To solve, move one of the root expressions to the right side, then square both sides:
√(2<em>x</em> + 1) = 2 + √(<em>x</em> + 1))
[√(2<em>x</em> + 1)]² = [2 + √(<em>x</em> + 1))]²
2<em>x</em> + 1 = 4 + 4 √(<em>x</em> + 1) + (<em>x</em> + 1)
Simplify this to
<em>x</em> - 4 = 4 √(<em>x </em>+ 1)
and now square both sides again and solve for <em>x</em> :
[<em>x</em> - 4]² = [4 √(<em>x</em> + 1)]²
<em>x</em> ² - 8<em>x</em> + 16 = 16 (<em>x</em> + 1)
<em>x</em> ² - 8<em>x</em> + 16 = 16<em>x</em> + 16
<em>x</em> ² - 24<em>x</em> = 0
<em>x</em> (<em>x</em> - 24) = 0
<em>x</em> = 0 <u>or</u> <em>x</em> - 24 = 0
<em>x</em> = 0 <u>or</u> <em>x</em> = 24
Both of these solutions are greater than -1/2; however, if <em>x</em> = 0, we get
√(2×0 + 1) - √(0 + 1) = √1 - √1 = 1 - 1 = 0 ≠ 2
so the only solution is <em>x</em> = 24.
