You're told that tan(<em>θ</em>) is positive, but
tan(<em>θ</em>) = sin(<em>θ</em>)/cos(<em>θ</em>)
and you're also told that sec(<em>θ</em>) = 1/cos(<em>θ</em>) = -3. So if cos(<em>θ</em>) is negative, sin(<em>θ</em>) must also be negative. In turn, both sec(<em>θ</em>) = 1/cos(<em>θ</em>) and csc(<em>θ</em>) = 1/sin(<em>θ</em>) are also negative.
Now, recall the Pythagorean identity,
cos²(<em>θ</em>) + sin²(<em>θ</em>) = 1
Multiply through both sides by 1/cos²(<em>θ</em>) to get an alternate form of the identity,
1 + tan²(<em>θ</em>) = sec²(<em>θ</em>)
Solve for tan(<em>θ</em>) (which we know is positive):
tan(<em>θ</em>) = √(sec²(<em>θ</em>) - 1) = 2√2
Right away, we get
cot(<em>θ</em>) = 1/tan²(<em>θ</em>) = 1/(2√2) = √2/4
Since sec(<em>θ</em>) = -3, it follows that cos(<em>θ</em>) = -1/3.
Then
tan(<em>θ</em>) = sin(<em>θ</em>)/cos(<em>θ</em>) ==> sin(<em>θ</em>) = 2√2 × (-1/3) = -2√2/3
and so
csc(<em>θ</em>) = 1/sin(<em>θ</em>) = -3/(2√2)
