Do you mean the 5th roots of 1? Or the 5th roots of 1^(1/5), i.e. the 5th roots of the 5th roots of 1?
I assume you mean the former. To begin with,
1 = exp(0°<em>i</em> ) = cos(0°) + <em>i</em> sin(0°)
Take the 5th root, i.e. (1/5)th power of both sides, so that by DeMoivre's theorem,
1^(1/5) = [ cos(0°) + <em>i</em> sin(0°) ]^(1/5)
1^(1/5) = cos((0° + 360°<em>n</em>)/5) + <em>i</em> sin((0° + 360°<em>n</em>)/5)
where <em>n</em> = 0, 1, 2, 3, or 4. Then 1^(1/5) has the 5 possible values,
• cos(0°/5) + <em>i</em> sin(0°/5) = 1
• cos(360°/5) + <em>i</em> sin(360°/5) = cos(72°) + <em>i</em> sin(72°)
• cos(720°/5) + <em>i</em> sin(720°/5) = cos(144°) + <em>i</em> sin(144°)
• cos(1080°/5) + <em>i</em> sin(1080°/5) = cos(216°) + <em>i</em> sin(216°)
• cos(1440°/5) + <em>i</em> sin(1440°/5) = cos(288°) + <em>i</em> sin(288°)
If you wish, or are required to, you can go on to write these in terms of radicals by expanding cos(5<em>x</em>) and sin(5<em>x</em>) (where <em>x</em> = 72° so that 5<em>x</em> = 360°). For example,
cos(5<em>x</em>) = cos⁵(<em>x</em>) - 10 cos³(<em>x</em>) sin²(<em>x</em>) + 5 cos(<em>x</em>) sin⁴(<em>x</em>)
cos(5<em>x</em>) = cos⁵(<em>x</em>) - 10 cos³(<em>x</em>) (1 - cos²(<em>x</em>)) + 5 cos(<em>x</em>) (1 - cos²(<em>x</em>))²
cos(5<em>x</em>) = 16 cos⁵(<em>x</em>) - 20 cos³(<em>x</em>) + 5 cos(<em>x</em>)
which follows from the expansion
(cos(<em>x</em>) + <em>i</em> sin(<em>x</em>))⁵ = cos(5<em>x</em>) + <em>i</em> sin(5<em>x</em>)
due to DeMoivre's theorem and equating the real parts. Then cos(5<em>x</em>) = 1, and you can try to solve for cos(<em>x</em>) :
1 = 16 cos⁵(<em>x</em>) - 20 cos³(<em>x</em>) + 5 cos(<em>x</em>)
Actually, it would be easier to find sin(<em>x</em>) first, since sin(5<em>x</em>) = 0. The expansion in terms of sin(<em>x</em>) will look quite similar to the one shown here.
