Question

Given two dependent random samples with the following results:

Answer 1

Answer:

We Fail to reject Null Hypothesis.

Step-by-step explanation:

We are given two dependent random samples;

Population 1   Population 2   d = Population 1 entry-Population 2 entry    $d^{2}$

      52                       61                                52 - 61 = -9                                 81

      81                        71                                 81 - 71 = 10                                 100

      72                        82                                72 - 82 = -10                             100

      67                        62                                67 - 62 = 5                                25

      73                        79                                 73 - 79 = -6                               36

      73                        77                                 73 - 77 = -4                                16

      76                        71                                  76 - 71 = 5                                 25

      83                        85                                 83 - 85 = -2                               4    

                                                                                                              ∑$d^{2}$ = 387                                  

Now,  Null Hypothesis, $H_0$ : $\mu_1 = \mu_2$    or   $\mu_d = 0$

 Alternate Hypothesis, $H_1$ : $\mu_1 \neq \mu_2$     or   $\mu_d \neq 0$

The test statistics for paired data is given by;

                   $\frac{dbar - \mu_d}{\frac{s_d}{\sqrt{n} } }$ follows $t_n_-_1$

 where, $dbar$ = Mean of Population 2 data - Mean of Population 1 data

Mean of Population 1 data = $\frac{52+81+72+67+73+73+76+83}{8}$ = 72.125

Mean of Population 2 data = $\frac{61+71+82+62+79+77+71+85}{8}$ = 73.5

 Hence, $dbar$ = 73.5 - 72.125 = 1.375

$s_d$ = Standard Deviation of paired data = $\sqrt{\frac{\sum d^{2} - n*(dbar)^{2} }{n-1} }$ = $\sqrt{\frac{387 - 8*(1.375)^{2} }{8-1} }$

                                                                 = 7.3

n = no. of observations = 8

 So, Test Statistics = $\frac{1.375 - 0}{\frac{7.3}{\sqrt{8} } }$ follows $t_7$

                         = 0.533

Now, if the critical value of t at 7 degree of freedom is less than the test statistics then we will reject null hypothesis.

At 0.01 level of significance, the t table gives a critical value of 3.499. Since our test statistics is less than the critical value we will not reject null hypothesis and conclude that there is no significant difference between the two population means.