The greatest integer function returns the largest integer smaller than the number you provide it. That is, if <em>n</em> ≤ <em>x</em> < <em>n</em> + 1, where <em>n</em> is an integer, then the "greatest integer of <em>x</em>" is [<em>x</em>] = <em>n</em>.
• Let <em>n</em> be even. Then we can write <em>n</em> = 2<em>k</em> for some integer <em>k</em> ≥ 0. Now,
[<em>n</em>/2] = [<em>k</em>] = <em>k</em>
while
[-<em>n</em>/2] = [-<em>k</em>] = -<em>k</em>
so that
[<em>n</em>/2] - [-<em>n</em>/2] = 2<em>k</em> = <em>n</em>
<em />
• Let <em>n</em> be odd. Then <em>n</em> = 2<em>k</em> + 1 for some integer <em>k</em> ≥ 0. Every odd integer occurs between two even integers, so that
<em>n</em> - 1 < <em>n</em> < <em>n</em> + 1
or equivalently,
2<em>k</em> < <em>n</em> < 2<em>k</em> + 2
so that
<em>k</em> < <em>n</em>/2 < <em>k</em> + 1
It follows that [<em>n</em>/2] = <em>k</em>.
Similarly, if we negative the previous inequality, we have
-<em>k</em> > -<em>n</em>/2 > -(<em>k</em> + 1), or -<em>k</em> - 1 < -<em>n</em>/2 < -<em>k</em>
which means [-<em>n</em>/2] = -<em>k</em> - 1.
So we make the same conclusion,
[<em>n</em>/2] - [-<em>n</em>/2] = <em>k</em> - (-<em>k</em> - 1) = 2<em>k</em> + 1 = <em>n</em>
