Answer:
see below
Step-by-step explanation:
<h2>Part-A:</h2>
we want to find the quotient and remainder when 4x²+4x is divided by 2x+1 in other words we want to find the quotient and remainder when:
![\displaystyle \frac{4 {x}^{2} + 4x}{2x + 1}](https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cdisplaystyle%20%20%5Cfrac%7B4%20%7Bx%7D%5E%7B2%7D%20%2B%204x%7D%7B2x%20%2B%201%7D%20)
To do so, I would prefer using simple algebra rather than using troublesome polynomial long division. anyway dividing it would yield the form
where:
- p(x) is the quotation
- k is the remainder
- q(x) is the divisor
Therefore,In order to derive the quotation and remainder, rewrite the numerator which yields:
![\displaystyle \frac{(2x + 1 {)}^{2} - 1}{2x + 1} \\ \\ \frac{(2x + 1 {)}^{2} - 1}{2x + 1} \\ \\ \frac{(2x + 1 {)}^{2} }{2x + 1} + \frac{ - 1}{2x + 1} \\ \\ \boxed{2x + 1 + \frac{ - 1}{2x + 1} }](https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cdisplaystyle%20%20%5Cfrac%7B%282x%20%2B%201%20%7B%29%7D%5E%7B2%7D%20%20%20-%201%7D%7B2x%20%2B%201%7D%20%20%5C%5C%20%5C%5C%20%20%20%5Cfrac%7B%282x%20%2B%201%20%7B%29%7D%5E%7B2%7D%20-%201%7D%7B2x%20%2B%201%7D%20%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20%5Cfrac%7B%282x%20%2B%201%20%20%7B%29%7D%5E%7B2%7D%20%20%20%7D%7B2x%20%2B%201%7D%20%20%20%2B%20%20%20%5Cfrac%7B%20-%201%7D%7B2x%20%2B%201%7D%20%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20%20%5Cboxed%7B2x%20%2B%201%20%2B%20%20%5Cfrac%7B%20-%201%7D%7B2x%20%2B%201%7D%20%7D)
Compering it to the mentioned form, we can consider:
- 2x+1, The quotient
- -1, The remainder
<h2>Part-B:</h2>
we are asked to show that,
![\displaystyle \int _{0} ^{1} \frac{4 {x}^{2} + 4x}{2x + 1} \, dx = 2 - \frac{1}{2} \ln(3)](https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cdisplaystyle%20%20%5Cint%20_%7B0%7D%20%5E%7B1%7D%20%20%5Cfrac%7B4%20%7Bx%7D%5E%7B2%7D%20%2B%204x%7D%7B2x%20%2B%201%7D%20%5C%2C%20dx%20%3D%202%20-%20%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5Cln%283%29%20)
Well,we can start with integrating the indefinite integral and the first step to do so is to decompose the fraction, integrand. As we have already done it in part-a, we can simply skip the steps:
![\displaystyle \implies \int 2x + 1 + \frac{ - 1}{2x + 1} \, dx \stackrel{ ? }{= }2 - \frac{1}{2} \ln(3)](https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cdisplaystyle%20%5Cimplies%20%20%5Cint%20%202x%20%2B%201%20%2B%20%20%5Cfrac%7B%20-%201%7D%7B2x%20%2B%201%7D%20%5C%2C%20dx%20%20%5Cstackrel%7B%20%3F%20%7D%7B%3D%20%7D2%20-%20%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5Cln%283%29%20)
utilizing sum integration rule yields:
![\displaystyle \implies \int 2x \, dx+ \int 1 \,dx+ \int \frac{ - 1}{2x + 1} \, dx \stackrel{ ? }{= }2 - \frac{1}{2} \ln(3)](https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cdisplaystyle%20%5Cimplies%20%20%5Cint%20%202x%20%5C%2C%20dx%2B%20%5Cint%201%20%20%5C%2Cdx%2B%20%20%5Cint%20%5Cfrac%7B%20-%201%7D%7B2x%20%2B%201%7D%20%5C%2C%20dx%20%20%5Cstackrel%7B%20%3F%20%7D%7B%3D%20%7D2%20-%20%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5Cln%283%29%20)
apply constant integration rule which yields:
![\displaystyle \implies 2\int x \, dx+ \int 1 \,dx - \int \frac{ 1}{2x + 1} \, dx \stackrel{ ? }{= }2 - \frac{1}{2} \ln(3)](https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cdisplaystyle%20%5Cimplies%20%202%5Cint%20%20x%20%5C%2C%20dx%2B%20%5Cint%201%20%20%5C%2Cdx%20-%20%20%20%5Cint%20%5Cfrac%7B%20%201%7D%7B2x%20%2B%201%7D%20%5C%2C%20dx%20%20%5Cstackrel%7B%20%3F%20%7D%7B%3D%20%7D2%20-%20%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5Cln%283%29%20)
recall that,
- integration of xⁿ is xⁿ+¹/n+1
- integration of a constant,k is kx
so we derive from utilizing the rules is that,
![\displaystyle \implies 2 \cdot\frac{ {x}^{2} }{2} + x- \int \frac{ 1}{2x + 1} \, dx \stackrel{ ? }{= }2 - \frac{1}{2} \ln(3)](https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cdisplaystyle%20%5Cimplies%20%20%202%20%5Ccdot%5Cfrac%7B%20%7Bx%7D%5E%7B2%7D%20%7D%7B2%7D%20%2B%20x-%20%20%20%5Cint%20%5Cfrac%7B%20%201%7D%7B2x%20%2B%201%7D%20%5C%2C%20dx%20%20%5Cstackrel%7B%20%3F%20%7D%7B%3D%20%7D2%20-%20%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5Cln%283%29%20)
Now integrating
would require <u>u-substitution </u> . In order to perform the substitution, let
To perform the substitution multiply the integrand and integral by 2 and ½ respectively:
![\displaystyle \implies { {x}^{2} }+ x- \frac{1}{2} \int \frac{ 2}{2x + 1} \, dx \stackrel{ ? }{= }2 - \frac{1}{2} \ln(3)](https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cdisplaystyle%20%5Cimplies%20%20%20%7B%20%7Bx%7D%5E%7B2%7D%20%7D%2B%20x-%20%20%20%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5Cint%20%20%5Cfrac%7B%20%202%7D%7B2x%20%2B%201%7D%20%5C%2C%20dx%20%20%5Cstackrel%7B%20%3F%20%7D%7B%3D%20%7D2%20-%20%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5Cln%283%29%20)
perform the substitution:
![\displaystyle \implies x^2+ x- \frac{1}{2} \int \frac{ 1}{u} \, du \stackrel{ ? }{= }2 - \frac{1}{2} \ln(3)](https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cdisplaystyle%20%5Cimplies%20%20%20%20x%5E2%2B%20x-%20%20%20%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5Cint%20%20%5Cfrac%7B%20%201%7D%7Bu%7D%20%5C%2C%20du%20%20%5Cstackrel%7B%20%3F%20%7D%7B%3D%20%7D2%20-%20%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5Cln%283%29%20)
integrating yields:
![\displaystyle \implies x^2+ x- \frac{1}{2} \ln(u) \stackrel{ ? }{= }2 - \frac{1}{2} \ln(3)](https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cdisplaystyle%20%5Cimplies%20%20x%5E2%2B%20x-%20%20%20%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%20%20%5Cln%28u%29%20%5Cstackrel%7B%20%3F%20%7D%7B%3D%20%7D2%20-%20%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5Cln%283%29%20)
back-substitute:
![\displaystyle \implies x^2 + x- \frac{1}{2} \ln(2x + 1) \stackrel{ ? }{= }2 - \frac{1}{2} \ln(3)](https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cdisplaystyle%20%5Cimplies%20%20%20x%5E2%20%2B%20x-%20%20%20%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%20%20%5Cln%282x%20%2B%201%29%20%5Cstackrel%7B%20%3F%20%7D%7B%3D%20%7D2%20-%20%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5Cln%283%29%20)
To evaluate the define integral , return the limits of integration:
![\displaystyle \implies x^2 \Bigg | _{0} ^{1} + x \Bigg | _ {0}^{1} - \frac{1}{2} \ln(2x + 1)\Bigg | _ {0}^{1} \stackrel{ ? }{= }2 - \frac{1}{2} \ln(3)](https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cdisplaystyle%20%5Cimplies%20%20%20x%5E2%20%20%5CBigg%20%7C%20_%7B0%7D%20%5E%7B1%7D%20%20%20%2B%20x%20%5CBigg%20%7C%20_%20%20%7B0%7D%5E%7B1%7D%20%20-%20%20%20%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%20%20%5Cln%282x%20%2B%201%29%5CBigg%20%7C%20_%20%20%7B0%7D%5E%7B1%7D%20%5Cstackrel%7B%20%3F%20%7D%7B%3D%20%7D2%20-%20%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5Cln%283%29%20)
remember fundamental theorem
utilize it and simplify which yields:
![\displaystyle \implies 1 + 1 - \frac{1}{2} \ln(3) \stackrel{ ? }{= }2 - \frac{1}{2} \ln(3) \\ \\ 2 - \frac{1}{2} \ln(3)\stackrel{ \checkmark }{= }2 - \frac{1}{2} \ln(3) \\ \\ \rm \rightarrow \: hence,showed](https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cdisplaystyle%20%5Cimplies%20%20%201%20%2B%201%20-%20%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5Cln%283%29%20%20%5Cstackrel%7B%20%3F%20%7D%7B%3D%20%7D2%20-%20%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5Cln%283%29%20%20%5C%5C%20%20%5C%5C%202%20-%20%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%20%5Cln%283%29%5Cstackrel%7B%20%20%5Ccheckmark%20%7D%7B%3D%20%7D2%20-%20%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%20%5Cln%283%29%20%5C%5C%20%20%5C%5C%20%20%5Crm%20%20%20%5Crightarrow%20%5C%3A%20hence%2Cshowed)
and we are done!