The cross product distributes over sums, so we have
[O produto cruzado distribui somas, então temos]
(<em>u</em> + <em>v</em>) × (<em>u</em> - <em>v</em>) = (<em>u</em> × <em>u</em>) + (<em>v</em> × <em>u</em>) + (<em>u</em> × (-<em>v</em>)) + (<em>v</em> × (-<em>v</em>))
(<em>u</em> + <em>v</em>) × (<em>u</em> - <em>v</em>) = (<em>u</em> × <em>u</em>) + (<em>v</em> × <em>u</em>) - (<em>u</em> × <em>v</em>) - (<em>v</em> × <em>v</em>)
The cross product of a vector with itself is the zero vector, so
[O produto vetorial de um vetor com ele mesmo é o vetor zero, então]
(<em>u</em> + <em>v</em>) × (<em>u</em> - <em>v</em>) = <em>0</em> + (<em>v</em> × <em>u</em>) - (<em>u</em> × <em>v</em>) - <em>0</em>
(<em>u</em> + <em>v</em>) × (<em>u</em> - <em>v</em>) = (<em>v</em> × <em>u</em>) - (<em>u</em> × <em>v</em>)
The cross product is anticommutative, meaning that for two vectors <em>u</em> and <em>v</em>,
[O produto vetorial é anticomutativo, o que significa que para dois vetores <em>u</em> e <em>v</em>,]
<em>u</em> × <em>v</em> = - (<em>v</em> × <em>u</em>)
So we end up with
[Então acabamos com]
(<em>u</em> + <em>v</em>) × (<em>u</em> - <em>v</em>) = (<em>v</em> × <em>u</em>) + (<em>v</em> × <em>u</em>)
(<em>u</em> + <em>v</em>) × (<em>u</em> - <em>v</em>) = 2 (<em>v</em> × <em>u</em>)
Given that <em>u</em> = (2, -3, -1) and <em>v</em> = (1, -1, 4), compute the cross product as follows:
[Dados esses vetores, calcule o produto vetorial:]
(1, -1, 4) × (2, -3, -1)
= ((1, 0, 0) - (0, 1, 0) + 4 (0, 0, 1)) × (2 (1, 0, 0) - 3 (0, 1, 0) - (0, 0, 1))
= 2 (1, 0, 0) × (1, 0, 0) - 2 (0, 1, 0) × (1, 0, 0) + 8 (0, 0, 1) × (1, 0, 0)
… … - 3 (1, 0, 0) × (0, 1, 0) + 3 (0, 1, 0) × (0, 1, 0) - 12 (0, 0, 1) × (0, 1, 0)
… … - (1, 0, 0) × (0, 0, 1) + (0, 1, 0) × (0, 0, 1) - 4 (0, 0, 1) × (0, 0, 1)
Recall the definition of the cross product:
[Lembre-se da definição de produto vetorial:]
(1, 0, 0) × (0, 1, 0) = (0, 0, 1)
(0, 1, 0) × (0, 0, 1) = (1, 0, 0)
(0, 0, 1) × (1, 0, 0) = (0, 1, 0)
The product reduces to
[O produto se reduz a]
(1, -1, 4) × (2, -3, -1)
= -2 (0, 1, 0) × (1, 0, 0) + 8 (0, 0, 1) × (1, 0, 0)
… … - 3 (1, 0, 0) × (0, 1, 0) - 12 (0, 0, 1) × (0, 1, 0)
… … - (1, 0, 0) × (0, 0, 1) + (0, 1, 0) × (0, 0, 1)
= 2 (0, 0, 1) + 8 (0, 1, 0) - 3 (0, 0, 1) + 12 (1, 0, 0) + (0, 1, 0) + (1, 0, 0)
= - (0, 0, 1) + 9 (0, 1, 0) + 13 (1, 0, 0)
= (13, 9, -1)
Finally,
[Finalmente,]
(<em>u</em> + <em>v</em>) × (<em>u</em> - <em>v</em>) = 2 (13, 9, -1) = (26, 18, -2)
