Find the intersection of the two planes. Do this by solving for <em>z</em> in terms of <em>x</em> and <em>y </em>; then solve for <em>y</em> in terms of <em>x</em> ; then again for <em>z</em> but only in terms of <em>x</em>.
-4<em>x</em> + 2<em>y</em> - <em>z</em> = 1 ==> <em>z</em> = -4<em>x</em> + 2<em>y</em> - 1
3<em>x</em> - 2<em>y</em> + 2<em>z</em> = 1 ==> <em>z</em> = (1 - 3<em>x</em> + 2<em>y</em>)/2
==> -4<em>x</em> + 2<em>y</em> - 1 = (1 - 3<em>x</em> + 2<em>y</em>)/2
==> -8<em>x</em> + 4<em>y</em> - 2 = 1 - 3<em>x</em> + 2<em>y</em>
==> -5<em>x</em> + 2<em>y</em> = 3
==> <em>y</em> = (3 + 5<em>x</em>)/2
==> <em>z</em> = -4<em>x</em> + 2 (3 + 5<em>x</em>)/2 - 1 = <em>x</em> + 2
So if we take <em>x</em> = <em>t</em>, the line of intersection is parameterized by
<em>r</em><em>(t)</em> = ⟨<em>t</em>, (3 + 5<em>t</em> )/2, 2 + <em>t</em>⟩
Just to not have to work with fractions, scale this by a factor of 2, so that
<em>r</em><em>(t)</em> = ⟨2<em>t</em>, 3 + 5<em>t</em>, 4 + 2<em>t</em>⟩
(a) The tangent vector to <em>r</em><em>(t)</em> is parallel to this line, so you can use
<em>v</em> = d<em>r</em>/d<em>t</em> = d/d<em>t</em> ⟨2<em>t</em>, 3 + 5<em>t</em>, 4 + 2<em>t</em>⟩ = ⟨2, 5, 2⟩
or any scalar multiple of this.
(b) (-1, -1, 1) indeed lies in both planes. Plug in <em>x</em> = -1, <em>y</em> = 1, and <em>z</em> = 1 to both plane equations to see this for yourself. We already found the parameterization for the intersection,
<em>r</em><em>(t)</em> = ⟨2<em>t</em>, 3 + 5<em>t</em>, 4 + 2<em>t</em>⟩
