Question

Find the taylor polynomial t3(x) for the function f centered at the number

Answer 1

$e^{-4x}=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{(-4x)^n}{n!}=1+(-4x)+\dfrac{(-4x)^2}2+\dfrac{(-4x)^3}6+\cdots$
$e^{-4x}=1-4x+8x^2-\dfrac{32x^3}3+\cdots$

$\sin2x=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^k(2x)^{2k+1}}{(2k+1)!}=(2x)-\dfrac{(2x)^3}6+\cdots$
$\sin2x=2x-\dfrac{4x^3}3+\cdots$

$e^{-4x}\sin2x=\left(1-4x+8x^2-\dfrac{32x^3}3+\cdots\right)\left(2x-\dfrac{4x^3}3+\cdots\right)$
$e^{-4x}\sin2x=2x-8x^2+\dfrac{44x^3}3+\cdots$

$\implies T_3(x)=2x-8x^2+\dfrac{44x^3}3$