Question

Ejercicio Nº 4 Desde la parte superior de un acantilado de 80 metros de altura se dispara horizontalmente una piedra a razón de 8m/s. Calcular: g = 10m/s? 1) el tiempo que permanece en el aire. 2) la distancia horizontal que el cuerpo alcanza. 3) la velocidad con que la piedra alcanza el suelo​

Answer 1

Answer:

1) La piedra permanece en el aire en 4 segundos.

2) La piedra alcanza una distancia horizontal de 32 metros.

3) La velocidad de la piedra con la que alcanza el suelo es aproximadamente 40.792 metros por segundo.

Step-by-step explanation:

El problema nos indica un caso de tipo parabólico, el cual consiste en la suma de un movimiento horizontal a velocidad y un movimiento uniforme acelerado por la gravedad desde el reposo.

1) El tiempo total que la piedra permanecería en el aire es tiempo requerido entre la parte superior del acantilado y el fondo. La ecuación cinemática que vamos a utilizar es la siguiente:

$y = y_{o} + v_{o,y}\cdot t +\frac{1}{2}\cdot g \cdot t^{2}$ (Ec. 1)

Donde:

$y_{o}$ - Altura inicial, medida en metros.

$y$ - Altura final, medida en metros.

$v_{o,y}$ - Velocidad vertical inicial de la piedra, meadida en metros por segundo.

$g$ - Aceleración gravitacional, medido en metros por segundo al cuadrado.

$t$ - Tiempo, medido en segundos.

Si sabemos que $y_{o} = 80\,m$, $v_{o,y} = 0\,\frac{m}{s}$ y $g = -10\,\frac{m}{s^{2}}$, entonces encontramos la siguiente función cuadrática:

$-5\cdot t^{2}+80 = 0$ (Ec. 2)

El tiempo en el que la piedra permanece en el aire es:

$t = 4\,s$

La piedra permanece en el aire en 4 segundos.

2) La distancia horizontal es descrita por la siguiente fórmula cinemática:

$x = x_{o}+v_{o,x}\cdot t$ (Ec. 3)

Donde:

$x_{o}$ - Posición horizontal inicial, medido en metros.

$x$ - Posición horizontal final, medido en metros.

$v_{o,x}$ - Velocidad horizontal inicial de la piedra, medida en metros por segundo.

Si sabemos que $x_{o} = 0\,m$, $v_{o,x} = 8\,\frac{m}{s}$ and $t = 4\,s$, entonces la distancia horizontal alcanzada por la piedra es:

$x = 0\,m + \left(8\,\frac{m}{s}\right)\cdot (4\,s)$

$x = 32\,m$

La piedra alcanza una distancia horizontal de 32 metros.

3) En primer lugar, determinamos los componentes vertical y horizontal de la velocidad final de la piedra por medio de las siguientes fórmulas cinemáticas:

Velocidad final horizontal ($v_{x}$), medida en metros por segundo.

$v_{x} = \frac{x-x_{o}}{t}$ (Ec. 4)

Velocidad final vertical ($v_{y}$), medida en metros por segundo.

$v_{y} = v_{o,y}+g\cdot t$ (Ec. 5)

Si $x = 32\,m$, $x_{o} = 0\,m$. $t = 4\,s$, $v_{o,y} = 0\,\frac{m}{s}$ y  $g = -10\,\frac{m}{s^{2}}$, los componentes de la velocidad final de la piedra son:

$v_{x} = \frac{32\,m-0\,m}{4\,s}$

$v_{x} = 8\,\frac{m}{s}$

$v_{y} = 0\,\frac{m}{s}+\left(-10\,\frac{m}{s^{2}} \right) \cdot (4\,s)$

$v_{y} = -40\,\frac{m}{s}$

Por último, determinamos la velocidad final de la piedra por Teorema de Pitágoras:

$v = \sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}$ (Ec. 6)

$v = \sqrt{\left(8\,\frac{m}{s} \right)^{2}+\left(-40\,\frac{m}{s} \right)^{2}}$

$v \approx 40.792\,\frac{m}{s}$

La velocidad de la piedra con la que alcanza el suelo es aproximadamente 40.792 metros por segundo.