Question

Write the equation of the hyperbola centered at the origin, with a focus at (10, 0) and directrix at x = 125/10

Answer 1

Answer:

the equation of the hyperbola centered at the origin is

                                            $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$

                                          $\frac{x^2}{\left(5\sqrt{5}\right)^2}-\frac{y^2}{\left(5i\right)^2}=1$

Step-by-step explanation:

For a right-left facing hyperbola, the Foci (focus points) are defined:

$\left(h+c,\:k\right),\:\left(h-c,\:k\right)$

where $c=\sqrt{a^2+b^2}$ is the distance form the center (h, k) to a focus.

So, the standard equation will be

                                                       $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$

• As the equation of directrix at x = 125/10

• Focus at (10, 0)

As the directrix is the line is

                                                $x=\frac{a^2}{c}$

As c = 10, and x = 125/10

So,

                                             $\:x\times c=a^2$

                                          $\sqrt{x\times \:c}=a$

                                        $\sqrt{\frac{125}{10}\times \:10}=a$

                                                  $5\sqrt{5}=a$

As

                                           $a^2+b^2=c^2$

                                           $b^2=c^2-a^2$

                                           $b=\sqrt{c^2-a^2}$

                                           $b=\sqrt{\left(10\right)^2-\left(5\sqrt{5}\right)^2}$

                                           $b=\sqrt{100-125}$

                                           $b=\sqrt{-25}$

                                           $b=\sqrt{-1}\sqrt{25}$

$\mathrm{Apply\:imaginary\:number\:rule}:\quad \sqrt{-1}=i$

                                           $b=\sqrt{25}i$

                                            $b=5i$

Therefore, the equation of the hyperbola centered at the origin is

                                            $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$

                                          $\frac{x^2}{\left(5\sqrt{5}\right)^2}-\frac{y^2}{\left(5i\right)^2}=1$

                                                 

Keywords: hyperbola, directrex, foci, equation of hyperbola

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