©As an estimation we are told 5 miles is 8 km.Convert 57.5 miles to km.
1 answer:
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Translate the given point and line together so that you get a new point and a new line that passes through the origin. This turns the problem into finding the distance between the new point,
<em>p</em> = (4, 4, -4) - (-1, 1, 3) = (5, 3, -7)
and the new line,
<em>r*</em><em>(t)</em> = <em>r</em><em>(t)</em> - ⟨-1, 1, 3⟩ = ⟨2<em>t</em>, 2<em>t</em>, -3<em>t</em>⟩
Let <em>p</em> = ⟨5, 3, -7⟩, the vector starting at the origin and pointing to <em>p</em>. Then the quantity ||<em>p</em> - <em>r*</em><em>(t)</em>|| is the distance from the point <em>p</em> to the line <em>r*</em><em>(t)</em>.
Let <em>u</em> be such that ||<em>p</em> - <em>r*</em><em>(t)</em>|| is minimized. At the value <em>t</em> = <em>u</em>, the vector <em>p</em> - <em>r*</em><em>(t)</em> is orthogonal to the line <em>r*</em><em>(t)</em>, so that
(<em>p</em> - <em>r*</em><em>(u)</em> ) • <em>r*</em><em>(u)</em> = 0
I've attached a sketch with all these elements in case this description is confusing. (The red dashed line is meant to be perpendicular to <em>r*</em><em>(t)</em>.)
Solve this equation for <em>u</em> :
<em>p</em> • <em>r*</em><em>(u)</em> - <em>r*</em><em>(u)</em> • <em>r*</em><em>(u)</em> = 0
<em>p</em> • <em>r*</em><em>(u)</em> = <em>r*</em><em>(u)</em> • <em>r*</em><em>(u)</em>
and <em>x</em> • <em>x</em> = ||<em>x</em>||² for any vector <em>x</em>, so
<em>p</em> • <em>r*</em><em>(u)</em> = ||<em>r*</em><em>(u)</em>||²
⟨5, 3, -7⟩ • ⟨2<em>u</em>, 2<em>u</em>, -3<em>u</em>⟩ = (2<em>u</em>)² + (2<em>u</em>)² + (-3<em>u</em>)²
10<em>u</em> + 6<em>u</em> + 21<em>u</em> = 4<em>u</em> ² + 4<em>u</em> ² + 9<em>u </em>²
17<em>u</em> ² - 37<em>u</em> = 0
<em>u</em> (17<em>u</em> - 37) = 0
==> <em>u</em> = 0 or <em>u</em> = 37/17
We ignore <em>u</em> = 0, since the dot product of any vector with the zero vector is 0.
Then the minimum distance distance between the given point and line is
||<em>p</em> - <em>r*</em><em>(u)</em>|| = ||⟨5, 3, -7⟩ - 37/17 ⟨2, 2, -3⟩|| = √(42/17)
