Finding the exact value of each number goes like this:
<em>x</em> = 0.212121...
100<em>x</em> = 21.212121...
==> 100<em>x</em> - <em>x</em> = 21.212121... - 0.212121...
==> 99<em>x</em> = 21
==> <em>x</em> = 21/99 = 7/33
Similarly:
<em>y</em> = 0.021021021...
1000<em>y</em> = 21.021021021...
==> 999<em>y</em> = 21
==> <em>y</em> = 21/999 = 7/333
and
<em>z</em> = 0.145714571457...
10000<em>z</em> = 1457.145714571457...
==> 9999<em>z</em> = 1457
==> <em>z</em> = 1457/9999
Then we end up with
<em>x</em> + <em>y</em> - <em>z</em> = 32345/369963
