To prove two sets are equal, you have to show they are both subsets of one another.
• <em>X</em> ∩ (⋃ ) = ⋃ {<em>X</em> ∩ <em>S</em> | <em>S</em> ∈ }
Let <em>x</em> ∈ <em>X</em> ∩ (⋃ ). Then <em>x</em> ∈ <em>X</em> and <em>x</em> ∈ ⋃ . The latter means that <em>x</em> ∈ <em>S</em> for an arbitrary set <em>S</em> ∈ . So <em>x</em> ∈ <em>X</em> and <em>x</em> ∈ <em>S</em>, meaning <em>x</em> ∈ <em>X</em> ∩ <em>S</em>. That is enough to say that <em>x</em> ∈ ⋃ {<em>X</em> ∩ <em>S</em> | <em>S</em> ∈ }. So <em>X</em> ∩ (⋃ ) ⊆ ⋃ {<em>X</em> ∩ <em>S</em> | <em>S</em> ∈ }.
For the other direction, the proof is essentially the reverse. Let <em>x</em> ∈ ⋃ {<em>X</em> ∩ <em>S</em> | <em>S</em> ∈ }. Then <em>x</em> ∈ <em>X</em> ∩ <em>S</em> for some <em>S</em> ∈ , so that <em>x</em> ∈ <em>X</em> and <em>x</em> ∈ <em>S</em>. Because <em>x</em> ∈ <em>S</em> and <em>S</em> ∈ , we have that <em>x</em> ∈ ⋃ , and so <em>x</em> ∈ <em>X</em> ∩ (⋃ ). So ⋃ {<em>X</em> ∩ <em>S</em> | <em>S</em> ∈ } ⊆ <em>X</em> ∩ (⋃ ).
QED
• <em>X</em> ∪ (⋂ ) = ⋂ {<em>X</em> ∪ <em>S</em> | <em>S</em> ∈ }
Let <em>x</em> ∈ <em>X</em> ∪ (⋂ ). Then <em>x</em> ∈ <em>X</em> or <em>x</em> ∈ ⋂ . If <em>x</em> ∈ <em>X</em>, we're done because that would guarantee <em>x</em> ∈ <em>X</em> ∪ <em>S</em> for any set <em>S</em>, and hence <em>x</em> would belong to the intersection. If <em>x</em> ∈ ⋂ , then <em>x</em> ∈ <em>S</em> for all <em>S</em> ∈ , so that <em>x</em> ∈ <em>X</em> ∪ <em>S</em> for all <em>S</em>, and hence <em>x</em> is in the intersection. Therefore <em>X</em> ∪ (⋂ ) ⊆ ⋂ {<em>X</em> ∪ <em>S</em> | <em>S</em> ∈ }.
For the opposite direction, let <em>x</em> ∈ ⋂ {<em>X</em> ∪ <em>S</em> | <em>S</em> ∈ }. Then <em>x </em>∈ <em>X</em> ∪ <em>S</em> for all <em>S</em> ∈ . So <em>x</em> ∈ <em>X</em> or <em>x</em> ∈ <em>S</em> for all <em>S</em>. If <em>x</em> ∈ <em>X</em>, we're done. If <em>x</em> ∈ <em>S</em> for all <em>S</em> ∈ , then <em>x</em> ∈ ⋂ , and we're done. So ⋂ {<em>X</em> ∪ <em>S</em> | <em>S</em> ∈ } ⊆ <em>X</em> ∪ (⋂ ).
QED
Answer:
6x3+5=23
Step-by-step explanation:
Answer:
1
Step-by-step explanation:
0.9=9/10
9/10+1/10=10/10=1
Hope this helps!
Answer: the answer is D
Step-by-step explanation:
Answer:
225 seconds
Step-by-step explanation:
First,
1km = 1000 meter
This means,
0.9 km = 900 meter
Second, to find the time taken,
0.25 x 900 = 225
Therefore,
225 seconds
Hope this helps!!
If it is correct, please mark me brainliest :)
