Let <em>f(x)</em> = <em>ax</em> ³ + <em>bx</em> ² + <em>cx</em> + <em>d</em>.
The graph of <em>f(x)</em> passes through (4, -22) and (3, -26), which means <em>f</em> (4) = -22 and <em>f</em> (3) = -26, so that
64<em>a</em> + 16<em>b</em> + 4<em>c</em> + <em>d</em> = -22
27<em>a</em> + 9<em>b</em> + 3<em>c</em> + <em>d</em> = -26
When the question says it has tangents at some point, I take that to mean the slope of the tangent line at that point is the given number. So <em>f '</em> (4) = 11 and <em>f '</em> (3) = -2. We have
<em>f '(x)</em> = 3<em>ax</em> ²+ 2<em>bx</em> + <em>c</em>
so that
48<em>a </em>+ 8<em>b </em>+ <em>c</em> = 11
27<em>a </em>+ 6<em>b</em> + <em>c</em> = -2
Solve the system:
• Eliminate <em>d</em> :
(64<em>a</em> + 16<em>b</em> + 4<em>c</em> + <em>d</em>) - (27<em>a</em> + 9<em>b</em> + 3<em>c</em> + <em>d</em>) = -22 - (-26)
→ 37<em>a</em> + 7<em>b</em> + <em>c</em> = 4
• Eliminate <em>c</em> :
(48<em>a </em>+ 8<em>b </em>+ <em>c</em>) - (27<em>a </em>+ 6<em>b</em> + <em>c</em>) = 11 - (-2)
→ 21<em>a</em> + 2<em>b</em> = 13
(48<em>a </em>+ 8<em>b </em>+ <em>c</em>) - (37<em>a</em> + 7<em>b</em> + <em>c</em>) = 11 - 4
→ 11<em>a</em> + <em>b</em> = 7
• Eliminate <em>b</em>, then solve for <em>a</em> and the other variables:
(21<em>a</em> + 2<em>b</em>) - 2 (11<em>a</em> + <em>b</em>) = 13 - 2 (7)
-<em>a</em> = -1
<em>a</em> = 1 → <em>b</em> = -4 → <em>c</em> = -5 → <em>d</em> = -2
Then
<em>f(x)</em> = <em>x</em> ³ - 4<em>x</em> ² - 5<em>x</em> - 2
