Note the binomial expansion,
(<em>a</em> + 1/<em>a</em>)³ = <em>a</em> ³ + 3<em>a</em> + 3/<em>a</em> + 1/<em>a</em> ³
so
<em>a</em> ³ + 1/<em>a</em> ³ = (<em>a</em> + 1/<em>a</em>)³ - 3 (<em>a</em> + 1/<em>a</em>)
Similarly,
(<em>a</em> + 1/<em>a</em>)² = <em>a</em> ² + 2 + 1/<em>a</em> ²
We're given <em>a</em> ² + 1/<em>a</em> ² = 79, so
(<em>a</em> + 1/<em>a</em>)² - 2 = 79
(<em>a</em> + 1/<em>a</em>)² = 81
<em>a</em> + 1/<em>a</em> = ±9
but <em>a</em> > 0, so we ignore the negative solution.
Then
<em>a</em> ³ + 1/<em>a</em> ³ = 9³ - 3×9 = 702
