Question

Y=sqrt(x)(8x-5) find the derivative

Answer 1

Answer:

$\displaystyle y' = \frac{24x - 5}{2\sqrt{x}}$

General Formulas and Concepts:  

Algebra I  

• Exponentials [Fractions] - Are radicals
• Exponential Rule [Rewrite]: $\displaystyle b^{-m} = \frac{1}{b^m}$

Calculus  

Derivatives  

Derivative Notation  

Derivative of a constant is 0  

Basic Power Rule:  

• f(x) = cxⁿ
• f’(x) = c·nxⁿ⁻¹

Product Rule: $\displaystyle \frac{d}{dx} [f(x)g(x)]=f'(x)g(x) + g'(x)f(x)$

Step-by-step explanation:

Step 1: Define

$\displaystyle y = \sqrt{x}(8x - 5)$

Step 2: Differentiate

$\displaystyle f(x) = \sqrt{x}, \ g(x) = (8x - 5)$

1. Product Rule:                                                                                                  $\displaystyle y' = \frac{d}{dx}[\sqrt{x}] \cdot (8x - 5) + \sqrt{x} \cdot \frac{d}{dx}[(8x - 5)]$
2. Rewrite:                                                                                                           $\displaystyle y' = \frac{d}{dx}[x^{\frac{1}{2}}] \cdot (8x - 5) + \sqrt{x} \cdot \frac{d}{dx}[(8x - 5)]$
3. Basic Power Rule:                                                                                          $\displaystyle y' = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2} - 1} \cdot (8x - 5) + \sqrt{x} \cdot 1 \cdot 8x^{1 - 1}$
4. Simplify:                                                                                                          $\displaystyle y' = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} \cdot (8x - 5) + \sqrt{x} \cdot 1 \cdot 8x^{0}$
5. Rewrite:                                                                                                           $\displaystyle y' = \frac{1}{2x^{\frac{1}{2}}} \cdot (8x - 5) + \sqrt{x} \cdot 1 \cdot 8$
6. Multiply:                                                                                                           $\displaystyle y' = \frac{8x + 5}{2x^{\frac{1}{2}}} + 8\sqrt{x}$
7. Rewrite:                                                                                                           $\displaystyle y' = \frac{8x + 5}{2\sqrt{x}} + 8\sqrt{x}$
8. Add/Rewrite:                                                                                                   $\displaystyle y' = \frac{24x - 5}{2\sqrt{x}}$