Question

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if
$y = (x + \sqrt{x} )^{2}$
​

Answer 1

Answer:

$\displaystyle y' = 2x + 3\sqrt{x} + 1$

General Formulas and Concepts:

Pre-Algebra

Order of Operations: BPEMDAS

1. Brackets
2. Parenthesis
3. Exponents
4. Multiplication
5. Division
6. Addition
7. Subtraction

• Left to Right

Algebra I

• Terms/Coefficients
• Anything to the 0th power is 1
• Exponential Rule [Rewrite]:                                                                              $\displaystyle b^{-m} = \frac{1}{b^m}$
• Exponential Rule [Root Rewrite]:                                                                     $\displaystyle \sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}$

Calculus

Derivatives

Derivative Notation

Basic Power Rule:

• f(x) = cxⁿ
• f’(x) = c·nxⁿ⁻¹

Derivative Rule [Chain Rule]:                                                                                    $\displaystyle \frac{d}{dx}[f(g(x))] =f'(g(x)) \cdot g'(x)$

Step-by-step explanation:

Step 1: Define

Identify

$\displaystyle y = (x + \sqrt{x})^2$

Step 2: Differentiate

1. Chain Rule:                                                                                                        $\displaystyle y' = 2(x + \sqrt{x})^{2 - 1} \cdot \frac{d}{dx}[x + \sqrt{x}]$
2. Rewrite [Exponential Rule - Root Rewrite]:                                                     $\displaystyle y' = 2(x + x^{\frac{1}{2}})^{2 - 1} \cdot \frac{d}{dx}[x + x^{\frac{1}{2}}]$
3. Simplify:                                                                                                             $\displaystyle y' = 2(x + x^{\frac{1}{2}}) \cdot \frac{d}{dx}[x + x^{\frac{1}{2}}]$
4. Basic Power Rule:                                                                                             $\displaystyle y' = 2(x + x^{\frac{1}{2}}) \cdot (1 \cdot x^{1 - 1} + \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2} - 1})$
5. Simplify:                                                                                                             $\displaystyle y' = 2(x + x^{\frac{1}{2}}) \cdot (1 + \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}})$
6. Rewrite [Exponential Rule - Rewrite]:                                                              $\displaystyle y' = 2(x + x^{\frac{1}{2}}) \cdot (1 + \frac{1}{2x^{\frac{1}{2}}})$
7. Multiply:                                                                                                             $\displaystyle y' = 2[(x + x^{\frac{1}{2}}) + \frac{x + x^{\frac{1}{2}}}{2x^{\frac{1}{2}}}]$
8. [Brackets] Add:                                                                                                 $\displaystyle y' = 2(\frac{2x + 3x^{\frac{1}{2}} + 1}{2})$
9. Multiply:                                                                                                             $\displaystyle y' = 2x + 3x^{\frac{1}{2}} + 1$
10. Rewrite [Exponential Rule - Root Rewrite]:                                                     $\displaystyle y' = 2x + 3\sqrt{x} + 1$

Topic: AP Calculus AB/BC (Calculus I/II)

Unit: Derivatives

Book: College Calculus 10e