Question

Find the derivative.

Answer 1

Answer:

$\displaystyle f'(x) = \bigg( \frac{1}{2\sqrt{x}} - \sqrt{x} \bigg)e^\big{-x}$

General Formulas and Concepts:

Algebra I

Terms/Coefficients

• Expanding/Factoring

Calculus

Differentiation

• Derivatives
• Derivative Notation

Basic Power Rule:

1. f(x) = cxⁿ
2. f’(x) = c·nxⁿ⁻¹

Derivative Rule [Quotient Rule]:                                                                           $\displaystyle \frac{d}{dx} [\frac{f(x)}{g(x)} ]=\frac{g(x)f'(x)-g'(x)f(x)}{g^2(x)}$

Step-by-step explanation:

Step 1: Define

Identify

$\displaystyle f(x) = \frac{\sqrt{x}}{e^x}$

Step 2: Differentiate

1. Derivative Rule [Quotient Rule]:                                                                   $\displaystyle f'(x) = \frac{(\sqrt{x})'e^x - \sqrt{x}(e^x)'}{(e^x)^2}$
2. Basic Power Rule:                                                                                         $\displaystyle f'(x) = \frac{\frac{e^x}{2\sqrt{x}} - \sqrt{x}(e^x)'}{(e^x)^2}$
3. Exponential Differentiation:                                                                         $\displaystyle f'(x) = \frac{\frac{e^x}{2\sqrt{x}} - \sqrt{x}e^x}{(e^x)^2}$
4. Simplify:                                                                                                         $\displaystyle f'(x) = \frac{\frac{e^x}{2\sqrt{x}} - \sqrt{x}e^x}{e^{2x}}$
5. Rewrite:                                                                                                         $\displaystyle f'(x) = \bigg( \frac{e^x}{2\sqrt{x}} - \sqrt{x}e^x \bigg) e^{-2x}$
6. Factor:                                                                                                           $\displaystyle f'(x) = \bigg( \frac{1}{2\sqrt{x}} - \sqrt{x} \bigg)e^\big{-x}$

Topic: AP Calculus AB/BC (Calculus I/I + II)

Unit: Differentiation