Step-by-step explanation:
<h3>
<u>Given Question is </u></h3>
![\sf \: If \: \triangle (x) = \begin{gathered}\sf \left | \begin{array}{ccc}1 + {sin}^{2}x & {cos}^{2}x &4sin2x\\ {sin}^{2}x &1 + {cos}^{2}x &4sin2x\\ {sin}^{2}x & {cos}^{2}x & 1 + 4sin2x\end{array}\right | \end{gathered}](https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Csf%20%5C%3A%20If%20%5C%3A%20%5Ctriangle%20%28x%29%20%20%3D%20%5Cbegin%7Bgathered%7D%5Csf%20%5Cleft%20%7C%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D1%20%2B%20%20%7Bsin%7D%5E%7B2%7Dx%20%26%20%7Bcos%7D%5E%7B2%7Dx%20%264sin2x%5C%5C%20%7Bsin%7D%5E%7B2%7Dx%20%261%20%2B%20%20%7Bcos%7D%5E%7B2%7Dx%20%264sin2x%5C%5C%20%7Bsin%7D%5E%7B2%7Dx%20%26%20%7Bcos%7D%5E%7B2%7Dx%20%26%201%20%2B%204sin2x%5Cend%7Barray%7D%5Cright%20%7C%20%5Cend%7Bgathered%7D)
The the value of x for which above determinant is maximum, is equals to
![\sf \: \: \: \: (a) \: \: \dfrac{\pi}{2}](https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Csf%20%5C%3A%20%20%5C%3A%20%20%5C%3A%20%20%5C%3A%20%28a%29%20%5C%3A%20%20%5C%3A%20%5Cdfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%20)
![\sf \: \: \: \: (b) \: \: \dfrac{\pi}{6}](https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Csf%20%5C%3A%20%20%5C%3A%20%20%5C%3A%20%20%5C%3A%20%28b%29%20%5C%3A%20%20%5C%3A%20%5Cdfrac%7B%5Cpi%7D%7B6%7D%20)
![\sf \: \: \: \: (c) \: \: \dfrac{\pi}{3}](https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Csf%20%5C%3A%20%20%5C%3A%20%20%5C%3A%20%20%5C%3A%20%28c%29%20%5C%3A%20%20%5C%3A%20%5Cdfrac%7B%5Cpi%7D%7B3%7D%20)
![\sf \: \: \: \: (d) \: \: \dfrac{\pi}{4}](https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Csf%20%5C%3A%20%20%5C%3A%20%20%5C%3A%20%20%5C%3A%20%28d%29%20%5C%3A%20%20%5C%3A%20%5Cdfrac%7B%5Cpi%7D%7B4%7D%20)
![\red{\large\underline{\sf{Solution-}}}](https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cred%7B%5Clarge%5Cunderline%7B%5Csf%7BSolution-%7D%7D%7D)
Given determinant is
![\sf \:\triangle (x) = \begin{gathered}\sf \left | \begin{array}{ccc}1 + {sin}^{2}x & {cos}^{2}x &4sin2x\\ {sin}^{2}x &1 + {cos}^{2}x &4sin2x\\ {sin}^{2}x & {cos}^{2}x & 1 + 4sin2x\end{array}\right | \end{gathered}](https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Csf%20%5C%3A%5Ctriangle%20%28x%29%20%20%3D%20%5Cbegin%7Bgathered%7D%5Csf%20%5Cleft%20%7C%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D1%20%2B%20%20%7Bsin%7D%5E%7B2%7Dx%20%26%20%7Bcos%7D%5E%7B2%7Dx%20%264sin2x%5C%5C%20%7Bsin%7D%5E%7B2%7Dx%20%261%20%2B%20%20%7Bcos%7D%5E%7B2%7Dx%20%264sin2x%5C%5C%20%7Bsin%7D%5E%7B2%7Dx%20%26%20%7Bcos%7D%5E%7B2%7Dx%20%26%201%20%2B%204sin2x%5Cend%7Barray%7D%5Cright%20%7C%20%5Cend%7Bgathered%7D)
![\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{\tt{ OP \: C_1 \: \to \: C_1 + C_2 + C_3 \: }}](https://tex.z-dn.net/?f=%20%5C%3A%20%20%5C%3A%20%20%5C%3A%20%20%5C%3A%20%20%5C%3A%20%20%5C%3A%20%20%5C%3A%20%20%5C%3A%20%20%5C%3A%20%20%5C%3A%20%20%5C%3A%20%20%5C%3A%20%20%5C%3A%20%20%5C%3A%20%20%5C%3A%20%5Cboxed%7B%5Ctt%7B%20OP%20%5C%3A%20C_1%20%5C%3A%20%20%5Cto%20%5C%3A%20C_1%20%2B%20C_2%20%2B%20C_3%20%5C%3A%20%7D%7D)
We get,
![\sf \:\triangle (x) = \begin{gathered}\sf \left | \begin{array}{ccc}1 + {sin}^{2}x + {cos}^{2}x + 4sin2x & {cos}^{2}x &4sin2x\\ 1 + {sin}^{2}x + {cos}^{2}x + 4sin2x &1 + {cos}^{2}x &4sin2x\\ 1 + {sin}^{2}x + {cos}^{2}x + 4sin2x & {cos}^{2}x & 1 + 4sin2x\end{array}\right | \end{gathered}](https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Csf%20%5C%3A%5Ctriangle%20%28x%29%20%20%3D%20%5Cbegin%7Bgathered%7D%5Csf%20%5Cleft%20%7C%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D1%20%2B%20%20%7Bsin%7D%5E%7B2%7Dx%20%2B%20%20%7Bcos%7D%5E%7B2%7Dx%20%2B%204sin2x%20%26%20%7Bcos%7D%5E%7B2%7Dx%20%264sin2x%5C%5C%201%20%2B%20%20%7Bsin%7D%5E%7B2%7Dx%20%2B%20%20%7Bcos%7D%5E%7B2%7Dx%20%2B%204sin2x%20%261%20%2B%20%20%7Bcos%7D%5E%7B2%7Dx%20%264sin2x%5C%5C%201%20%2B%20%20%7Bsin%7D%5E%7B2%7Dx%20%2B%20%20%7Bcos%7D%5E%7B2%7Dx%20%2B%204sin2x%20%26%20%7Bcos%7D%5E%7B2%7Dx%20%26%201%20%2B%204sin2x%5Cend%7Barray%7D%5Cright%20%7C%20%5Cend%7Bgathered%7D)
![\sf \:\triangle (x) = 1 + {sin}^{2}x + {cos}^{2}x + 4sin2x\begin{gathered}\sf \left | \begin{array}{ccc}1 & {cos}^{2}x &4sin2x\\ 1 &1 + {cos}^{2}x &4sin2x\\ 1 & {cos}^{2}x & 1 + 4sin2x\end{array}\right | \end{gathered}](https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Csf%20%5C%3A%5Ctriangle%20%28x%29%20%20%3D%201%20%2B%20%20%7Bsin%7D%5E%7B2%7Dx%20%2B%20%20%7Bcos%7D%5E%7B2%7Dx%20%2B%204sin2x%5Cbegin%7Bgathered%7D%5Csf%20%5Cleft%20%7C%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D1%20%26%20%7Bcos%7D%5E%7B2%7Dx%20%264sin2x%5C%5C%201%20%261%20%2B%20%20%7Bcos%7D%5E%7B2%7Dx%20%264sin2x%5C%5C%201%20%26%20%7Bcos%7D%5E%7B2%7Dx%20%26%201%20%2B%204sin2x%5Cend%7Barray%7D%5Cright%20%7C%20%5Cend%7Bgathered%7D)
![\boxed{\tt{ OP \: R_2 \: \to \: R_2 - R_1 \: }} \: \: and \: \: \boxed{\tt{ R_3 \: \to \: R_3 - R_1 \: }}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cboxed%7B%5Ctt%7B%20OP%20%5C%3A%20R_2%20%5C%3A%20%20%5Cto%20%5C%3A%20R_2%20-%20R_1%20%5C%3A%20%7D%7D%20%20%5C%3A%20%5C%3A%20and%20%5C%3A%20%20%5C%3A%20%5Cboxed%7B%5Ctt%7B%20R_3%20%5C%3A%20%20%5Cto%20%5C%3A%20R_3%20-%20R_1%20%5C%3A%20%7D%7D)
We get,
![\sf \:\triangle (x) = 1 +1+ 4sin2x\begin{gathered}\sf \left | \begin{array}{ccc}1 & {cos}^{2}x &4sin2x\\ 0 &1 &0\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right | \end{gathered}](https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Csf%20%5C%3A%5Ctriangle%20%28x%29%20%20%3D%201%20%2B1%2B%204sin2x%5Cbegin%7Bgathered%7D%5Csf%20%5Cleft%20%7C%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D1%20%26%20%7Bcos%7D%5E%7B2%7Dx%20%264sin2x%5C%5C%200%20%261%20%260%5C%5C%200%20%26%200%20%26%201%5Cend%7Barray%7D%5Cright%20%7C%20%5Cend%7Bgathered%7D)
![\sf \:\triangle (x) = (2+ 4sin2x)(1 - 0)](https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Csf%20%5C%3A%5Ctriangle%20%28x%29%20%20%3D%20%282%2B%204sin2x%29%281%20-%200%29)
![\sf \:\triangle (x) = 2+ 4sin2x](https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Csf%20%5C%3A%5Ctriangle%20%28x%29%20%20%3D%202%2B%204sin2x)
We know,
![\rm :\longmapsto\:\boxed{\rm{ sinx \: has \: maximum \: value \: 1 \: at \: x = \dfrac{\pi}{2} \: }}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Crm%20%3A%5Clongmapsto%5C%3A%5Cboxed%7B%5Crm%7B%20sinx%20%5C%3A%20has%20%5C%3A%20maximum%20%5C%3A%20value%20%5C%3A%201%20%5C%3A%20at%20%5C%3A%20x%20%3D%20%5Cdfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%20%5C%3A%20%7D%7D)
So,
![\rm \implies\:Maximum \: value \: of \: \triangle (x)\: occurs \: when \: 2x = \dfrac{\pi}{2}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Crm%20%5Cimplies%5C%3AMaximum%20%5C%3A%20value%20%5C%3A%20of%20%5C%3A%20%20%5Ctriangle%20%28x%29%5C%3A%20occurs%20%5C%3A%20when%20%5C%3A%202x%20%3D%20%20%5Cdfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%20)
![\rm \implies\:Maximum \: value \: of \: \triangle (x)\: occurs \: when \: x = \dfrac{\pi}{4}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Crm%20%5Cimplies%5C%3AMaximum%20%5C%3A%20value%20%5C%3A%20of%20%5C%3A%20%20%5Ctriangle%20%28x%29%5C%3A%20occurs%20%5C%3A%20when%20%5C%3A%20x%20%3D%20%20%5Cdfrac%7B%5Cpi%7D%7B4%7D%20)
<em>So, option (d) is correct. </em>
▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬
<h3>More to Know :- </h3>
1. The determinant value remains unaltered if rows and columns are interchanged.
2. The determinant value is 0, if two rows or columns are identical.
3. The determinant value is multiplied by - 1, if successive rows or columns are interchanged.
4. The determinant value remains unaltered if rows or columns are added or subtracted.