Question

Prove the following

Answer 1

Answer:

Step-by-step explanation:

$\large\underline{\sf{Solution-}}$

Consider

$\rm \: \cos \bigg( \dfrac{3\pi}{2} + x \bigg) \cos \: (2\pi + x) \bigg \{ \cot \bigg( \dfrac{3\pi}{2} - x \bigg) + cot(2\pi + x) \bigg \}cos(23π+x)cos(2π+x)$

We Know,

$\rm \: \cos \bigg( \dfrac{3\pi}{2} + x \bigg) = sinx$

$\rm \: {cos \: (2\pi + x) }$

$\rm \: \cot \bigg( \dfrac{3\pi}{2} - x \bigg) \: = \: tanx$

$\rm \: cot(2\pi + x) \: = \: cotx$

So, on substituting all these values, we get

$\rm \: = \: sinx \: cosx \: (tanx \: + \: cotx)$

$\rm \: = \: sinx \: cosx \: \bigg(\dfrac{sinx}{cosx} + \dfrac{cosx}{sinx}$

$\rm \: = \: sinx \: cosx \: \bigg(\dfrac{ {sin}^{2}x + {cos}^{2}x}{cosx \: sinx}$

$\rm \: = \: 1=1$

Hence,

$\boxed{\tt{ \cos \bigg( \frac{3\pi}{2} + x \bigg) \cos \: (2\pi + x) \bigg \{ \cot \bigg( \frac{3\pi}{2} - x \bigg) + cot(2\pi + x) \bigg \} = 1}}$

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ADDITIONAL INFORMATION :-

Sign of Trigonometric ratios in Quadrants

• sin (90°-θ)  =  cos θ
• cos (90°-θ)  =  sin θ
• tan (90°-θ)  =  cot θ
• csc (90°-θ)  =  sec θ
• sec (90°-θ)  =  csc θ
• cot (90°-θ)  =  tan θ
• sin (90°+θ)  =  cos θ
• cos (90°+θ)  =  -sin θ
• tan (90°+θ)  =  -cot θ
• csc (90°+θ)  =  sec θ
• sec (90°+θ)  =  -csc θ
• cot (90°+θ)  =  -tan θ
• sin (180°-θ)  =  sin θ
• cos (180°-θ)  =  -cos θ
• tan (180°-θ)  =  -tan θ
• csc (180°-θ)  =  csc θ
• sec (180°-θ)  =  -sec θ
• cot (180°-θ)  =  -cot θ
• sin (180°+θ)  =  -sin θ
• cos (180°+θ)  =  -cos θ
• tan (180°+θ)  =  tan θ
• csc (180°+θ)  =  -csc θ
• sec (180°+θ)  =  -sec θ
• cot (180°+θ)  =  cot θ
• sin (270°-θ)  =  -cos θ
• cos (270°-θ)  =  -sin θ
• tan (270°-θ)  =  cot θ
• csc (270°-θ)  =  -sec θ
• sec (270°-θ)  =  -csc θ
• cot (270°-θ)  =  tan θ
• sin (270°+θ)  =  -cos θ
• cos (270°+θ)  =  sin θ
• tan (270°+θ)  =  -cot θ
• csc (270°+θ)  =  -sec θ
• sec (270°+θ)  =  cos θ
• cot (270°+θ)  =  -tan θ

Answer 2

Step-by-step explanation:

Hence,

$\boxed{\tt{ \cos \bigg( \frac{3\pi}{2} + x \bigg) \cos \: (2\pi + x) \bigg \{ \cot \bigg( \frac{3\pi}{2} - x \bigg) + cot(2\pi + x) \bigg \} = 1}}$

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