Solve for <em>x</em> and <em>y</em> :
<em>x</em> + <em>y</em> = 1 → <em>y</em> = 1 - <em>x</em>
<em>x</em> ² + <em>y</em> ² = -1
<em>x</em> ² + (1 - <em>x</em>)² = -1
<em>x</em> ² + (1 - 2<em>x</em> + <em>x</em> ²) = -1
2<em>x</em> ² - 2<em>x</em> + 1 = -1
2<em>x</em> ² - 2<em>x</em> + 2 = 0
<em>x</em> ² - <em>x</em> + 1 = 0
<em>x</em> ² - <em>x</em> + 1/4 = -3/4
(<em>x</em> - 1/2)² = -3/4
<em>x</em> - 1/2 = ±√(-3/4)
<em>x</em> - 1/2 = ±√3/2 <em>i</em>
<em>x</em> = 1/2 ± √3/2 <em>i</em> → <em>x</em> = exp(± <em>iπ</em>/3)
<em>y</em> = 1 - (1/2 ± √3/2 <em>i</em> ) → <em>y</em> = -1/2 ± √3/2 <em>i</em> → <em>y</em> = exp(± 2<em>iπ</em>/3)
Then
<em>x </em>⁷ + <em>y </em>¹³ = exp(± 7<em>iπ</em>/3) + exp(± 26<em>iπ</em>/3)
… = exp(± <em>iπ</em>/3) + exp(± 2<em>iπ</em>/3)
since 7<em>π</em>/3 is equivalent to <em>π</em>/3, and 26<em>π</em>/3 is equivalent to 2<em>π</em>/3 (both modulo 2<em>π</em>).
In either case, we get
<em>x </em>⁷ + <em>y </em>¹³ = <em>x</em> + <em>y</em> = 1
so the answer is (2) 1.
