(a) <em>w(x)</em> = 5<em>u(x)</em> + 8<em>v(x)</em>
Differentiating with the sum rule gives
<em>w'(x)</em> = 5<em>u'(x)</em> + 8<em>v'(x)</em>
so that
<em>w'</em> (-5) = 5<em>u'</em> (-5) + 8<em>v'</em> (-5)
… = 5×2 + 8×4 = 42
(b) <em>w(x)</em> = <em>u(x)</em> <em>v(x)</em>
Differentiate using the product rule:
<em>w'(x)</em> = <em>u'(x)</em> <em>v(x)</em> + <em>u(x) v'(x)</em>
Then
<em>w'</em> (-5) = <em>u'</em> (-5) <em>v</em> (-5) + <em>u</em> (-5) <em>v'</em> (-5)
… = 2×6 + (-5)×4 = -8
(c) <em>w(x)</em> = <em>u(x)</em> / <em>v(x)</em>
Quotient rule:
<em>w'(x)</em> = (<em>u'(x) v(x)</em> - <em>u(x) v'(x) </em>) / <em>v(x)</em> ²
Then
<em>w'</em> (-5) = (<em>u' </em>(-5)<em> v </em>(-5) - <em>u </em>(-5)<em> v' </em>(-5)<em> </em>) / <em>v </em>(-5)²
… = (2×6 - (-5)×4) / 6² = 32/36 = 8/9
(d) <em>w(x)</em> = <em>u(x)</em> / (<em>u(x)</em> + <em>v(x) </em>)
Chain and quotient rule:
<em>w'(x)</em> = (<em>u'(x)</em> (<em>u(x)</em> + <em>v(x)</em>) - <em>u(x)</em> (<em>u(x)</em> + <em>v(x)</em>)<em>' </em>) / (<em>u(x)</em> + <em>v(x) </em>)²
… = (<em>u'(x)</em> (<em>u(x)</em> + <em>v(x)</em>) - <em>u(x)</em> (<em>u'(x)</em> + <em>v'(x)</em>)) / (<em>u(x)</em> + <em>v(x) </em>)²
Then
<em>w'</em> (-5) = (<em>u' </em>(-5) (<em>u </em>(-5) + <em>v </em>(-5)) - <em>u </em>(-5) (<em>u' </em>(-5) + <em>v' </em>(-5))) / (<em>u </em>(-5) + <em>v </em>(-5)<em> </em>)²
… = (2×((-5) + 6) - (-5)×(2 + 4)) / ((-5) + 6)²
… = (2×1 + 5×6) / 1² = 32
