Let <em>a</em>(<em>n</em>) denote the <em>n</em>-th term in the GP. We're given
<em>a</em>(6) = 8<em>a</em>(10)
<em>a</em>(7) + <em>a</em>(8) = 192
In a geometric progression, consecutive terms are scaled up or down by a fixed ratio <em>r</em> such that
<em>a</em>(<em>n</em>) = <em>r</em> <em>a</em>(<em>n</em> - 1)
By substitution, we get
<em>a</em>(<em>n</em>) = <em>r</em> (<em>r</em> <em>a</em>(<em>n</em> - 2)) = <em>r</em> ² <em>a</em>(<em>n</em> - 2)
and we can continue the pattern down to the first term,
<em>a</em>(<em>n</em>) = <em>r</em> <em>a</em>(<em>n</em> - 1) = <em>r</em> ² <em>a</em>(<em>n</em> - 2) = <em>r</em> ³ <em>a</em>(<em>n</em> - 3) = … = <em>rⁿ </em>⁻¹ <em>a</em>(1)
So we can rewrite the first two equations in terms of the first term of the GP <em>a</em>(1) and the common ratio <em>r</em> :
<em>r</em> ⁵ <em>a</em>(1) = 8<em>r</em> ⁹ <em>a</em>(1)
<em>r</em> ⁶ <em>a</em>(1) + <em>r</em> ⁷ <em>a</em>(1) = 192
Solve the first equation for <em>r</em> :
<em>r</em> ⁵ <em>a</em>(1) = 8<em>r</em> ⁹ <em>a</em>(1) → 1 = 8<em>r</em> ⁴ → <em>r</em> = 1/∜8 ≈ 0.5946
Solve the second equation for <em>a</em>(1) :
<em>r</em> ⁶ <em>a</em>(1) + <em>r</em> ⁷ <em>a</em>(1) = <em>r</em> ⁶ <em>a</em>(1) (1 + <em>r</em> ) = 1/(16√2) <em>a</em>(1) (1 + 1/∜8) = 192
→ <em>a</em>(1) = 6144 ∜2 / (1 + ∜8) ≈ 2724.48
