It looks like your equation (it's not an identity) is
2 cos(5<em>x</em>) cos(3<em>x</em>) + sin(<em>x</em>) = cos(8<em>x</em>)
Recall that
cos(<em>x</em> + <em>y</em>) = cos(<em>x</em>) cos(<em>y</em>) - sin(<em>x</em>) sin(<em>y</em>)
cos(<em>x</em> - <em>y</em>) = cos(<em>x</em>) cos(<em>y</em>) + sin(<em>x</em>) sin(<em>y</em>)
==> 2 cos(<em>x</em>) cos(<em>y</em>) = cos(<em>x</em> + <em>y</em>) + cos(<em>x</em> - <em>y</em>)
so that
2 cos(5<em>x</em>) cos(3<em>x</em>) = cos(8<em>x</em>) + cos(2<em>x</em>)
Then the equation simplifies to
cos(8<em>x</em>) + cos(2<em>x</em>) + sin(<em>x</em>) = cos(8<em>x</em>)
cos(2<em>x</em>) + sin(<em>x</em>) = 0
Also recall that
cos(2<em>x</em>) = 1 - 2 sin²(<em>x</em>)
so the equation is quadratic in sin(<em>x</em>) and can be factorized:
1 - 2 sin²(<em>x</em>) + sin(<em>x</em>) = 0
2 sin²(<em>x</em>) - sin(<em>x</em>) - 1 = 0
(2 sin(<em>x</em>) + 1) (sin(<em>x</em>) - 1) = 0
Solve for <em>x</em> :
2 sin(<em>x</em>) + 1 = 0 <u>or</u> sin(<em>x</em>) - 1 = 0
sin(<em>x</em>) = -1/2 <u>or</u> sin(<em>x</em>) = 1
[<em>x</em> = arcsin(-1/2) + 2<em>nπ</em> <u>or</u> <em>x</em> = <em>π</em> - arcsin(-1/2) + 2<em>nπ</em>] <u>or</u> <em>x</em> = arcsin(1) + 2<em>nπ</em>
(where <em>n</em> is any integer)
<em>x</em> = -<em>π</em>/6 + 2<em>nπ</em> <u>or</u> <em>x</em> = -5<em>π</em>/6 + 2<em>nπ</em> <u>or</u> <em>x</em> = <em>π</em>/2 + 2<em>nπ</em>
