Question

Se encontro que la arista de un cubo es de 30cm, con un posible error en la medicion de 0.1. Utilice diferenciales para estimar el error maximo posible, el error relativo y el porcentaje de error al calcular a) el volumen del cubo b) el area superficial del cubo

Answer 1

Answer:

a) El error máximo posible es 270 centímetros cúbicos. El error relativo asociado al volumen es 0.01. El error asociado al volumen es 1 por ciento.

b) El máximo error posible del área superficial es 36 centímetros cuadrados. El máximo error posible del área superficial es 36 centímetros cuadrados. El porcentaje de error del área superficial es 0.667 por ciento.

Step-by-step explanation:

Recordemos que el volumen y el área superficial de un cubo quedan representados por las respectivas fórmulas:

$V = l^{3}$ (Ec. 1)

$A_{s} = 6\cdot l^{2}$ (Ec. 2)

Donde:

$l$ - Longitud de la arista, medida en centímetros.

$A_{s}$ - Área superficial, medida en centrímetros cuadrados.

$V$ - Volumen, medido en centímetros cúbicos.

a) El error máximo posible del volumen del cubo se estima por el siguiente diferencial:

$\Delta V = \frac{\partial V}{\partial l}\cdot \Delta l$ (Ec. 3)

Donde:

$\Delta V$ - Error máximo posible del volumen, medido en centímetros cúbicos.

$\frac{\partial V}{\partial l}$ - Primera derivada parcial del volumen con respecto a la longitud de la arista, medida en centrímetros cuadrados.

$\Delta l$ - Error máximo de medición, medido en centímetros.

La derivada parcial de la función de volumen es:

$\frac{\partial V}{\partial l} = 3\cdot l^{2}$ (Ec. 4)

Ahora expandimos (Ec. 3):

$\Delta V = 3\cdot l^{2}\cdot \Delta l$

Si conocemos que $l = 30\,cm$ y $\Delta l = 0.1\,cm$, el máximo error posible del volumen es:

$\Delta V = 3\cdot (30\,cm)^{2}\cdot (0.1\,cm)$

$\Delta V = 270\,cm^{3}$

El error máximo posible del volumen es 270 centímetros cúbicos.

Obtenemos el error relativo al dividir el resultado anterior por el volumen, es decir:

$\epsilon_{V} = \frac{\Delta V}{V}$ (Ec. 5)

El volumen del cubo es: ($l = 30\,cm$)

$V = (30\,cm)^{3}$

$V = 27000\,cm^{3}$

Ahora sustituimos (Ec. 5):

$\epsilon_{V} = \frac{270\,cm^{3}}{27000\,cm^{3}}$

$\epsilon_{V} = 0.01$

El error relativo asociado al volumen es 0.01.

Por último, encontramos el porcentaje de error asociado al volumen:

$\%\epsilon_{V} = 0.01\times 100\,\%$

$\%\epsilon_{V} = 1\,\%$

El error asociado al volumen es 1 por ciento.

b) El error máximo posible del área superficial del cubo se estima por el siguiente diferencial:

$\Delta A_{s} = \frac{\partial A_{s}}{\partial l}\cdot \Delta l$ (Ec. 6)

Donde:

$\Delta A_{s}$ - Error máximo posible del área superficial, medido en centímetros cuadrados.

$\frac{\partial A_{s}}{\partial l}$ - Primera derivada parcial del área superficial con respecto a la longitud de la arista, medida en centrímetros.

$\Delta l$ - Error máximo de medición, medido en centímetros.

La derivada parcial de la función de área superficial es:

$\frac{\partial A_{s}}{\partial l} = 12\cdot l$ (Ec. 7)

Ahora expandimos (Ec. 6):

$\Delta A_{s} = 12\cdot l\cdot \Delta l$

Si conocemos que $l = 30\,cm$ y $\Delta l = 0.1\,cm$, el máximo error posible del área superficial es:

$\Delta A_{S} = 12\cdot (30\,cm)\cdot (0.1\,cm)$

$\Delta A_{S} = 36\,cm^{2}$

El máximo error posible del área superficial es 36 centímetros cuadrados.

Obtenemos el error relativo al dividir el resultado anterior por el volumen, es decir:

$\epsilon_{A_{S}} = \frac{\Delta A_{S}}{A_{S}}$ (Ec. 8)

El área superficial del cubo es: ($l = 30\,cm$)

$A_{S} = 6\cdot (30\,cm)^{2}$

$A_{S} = 5400\,cm^{2}$

Ahora sustituimos (Ec. 8):

$\epsilon_{A_{S}} = \frac{36\,cm^{2}}{5400\,cm^{2}}$

$\epsilon_{A_{S}} = 6.667\times 10^{-3}$

El error relativo del área superficial es 6.667 × 10⁻³.

Por último, encontramos el porcentaje de error asociado al área superficial:

$\%\epsilon_{A_{S}} = 6.667\times 10^{-3}\times 100\,\%$

$\%\epsilon_{A_{S}} = 0.667\,\%$

El porcentaje de error del área superficial es 0.667 por ciento.