Expression for all solutions to the equation cos(theta) = 1 + 3cos(theta)

1 answer:

7 0

$\cos\theta=1+3\cos\theta\implies 0=1+2\cos\theta\implies \cos\theta=-\dfrac12$

On the unit cirlce, the cosine of an angle is negative whenever the angle falls in the interval $\dfrac\pi2$ .

If you recall your special triangles, this cosine occurs for angles of $x=\dfrac{2\pi}3$ and $x=\dfrac{4\pi}3$ .

More generally, this occurs for $x=\dfrac{2\pi}3+2n\pi$ and $x=\dfrac{4\pi}3+2n\pi$ , where $n$ is an integer.

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Suponga que desea utilizar un servicio de correo particular para enviar un paquete que tiene forma de caja rectangular con una s

statuscvo [17]

a) El volumen de la caja en función de su longitud es:

$V_{caja}=\frac{x^{3}}{16}-\frac{25x^{2}}{2}+625x$

b) El dominio de la ecuación del volumen son todos los números reales.

c) Las dimensiones del paquete con el mayor volumen posible son:

longitud de la caja x = 30 plg

lado de la sección transversal L = 17.5 plg

Definamos x como la longitud de la caja y L como el lado de la sección transversal, que es cuadrada para este caso.

Sabemos que la suma de su longitud (x) y el perímetro de la sección transversal (P = 4L) es igual a 100 plg.

$x+4L=100$ (1)

Ahora, el volumen de esta caja rectangular está dada por:

$V_{caja}=A_{base}*x$

$V_{caja}=L^{2}*x$ (2)

Pero necesitamos expresar el volumen en función de x.

Despejamos L de la ecuación (1) y remplazarlo en (2).

Por lo tanto el volumen en función de x será.

$V_{caja}=(\frac{100-x}{4})^{2}*x$

$V_{caja}=\frac{x^{3}}{16}-\frac{25x^{2}}{2}+625x$

Al ser la función un polinomio de orden 3 el dominio de esta función son todos los numeros reales.

Observando la gráfica de esta función, podemos ver que para un valor aproxiamdo de x = 30 plg el valor de V tiene un punto de inflección, es por definición de maximización de una función que podemos usar ese punto para encontrar las dimensiones de la caja.

Por lo tanto si x = 30 plg el valor de L usando la ecuacion (1) sera:

$L=\frac{100-x}{4}$