Answer:
23.92°, 78.503°, and 77.577°
Step-by-step explanation:
The coordinates of the vertices of the triangle are;
X(-3, -5), Y(2, 6), Z(6, 3)
The vectors are;
z =
= ![\left \langle 5, 11 \right \rangle](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%20%5Clangle%205%2C%2011%20%20%5Cright%20%5Crangle)
y =
= ![\left \langle 9, 8 \right \rangle](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%20%5Clangle%209%2C%208%20%5Cright%20%5Crangle)
x =
= ![\left \langle -4, 3 \right \rangle](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%20%5Clangle%20-4%2C%203%20%20%5Cright%20%5Crangle)
![cos (\alpha ) = \dfrac{z \cdot y}{\left | z \right | \times \left | y \right |}](https://tex.z-dn.net/?f=cos%20%28%5Calpha%20%29%20%3D%20%5Cdfrac%7Bz%20%5Ccdot%20y%7D%7B%5Cleft%20%7C%20%20z%20%5Cright%20%7C%20%5Ctimes%20%5Cleft%20%7C%20y%20%20%5Cright%20%7C%7D)
Therefore, we get;
![cos (\alpha ) = \dfrac{5 \times 9 + 11 \times 8 }{\left | \sqrt{5^2 + 11^2} \right | \times \left | \sqrt{9^2 + 8^2} \right |} = \dfrac{133}{\sqrt{146} \times \sqrt{145} } \approx 0.91409](https://tex.z-dn.net/?f=cos%20%28%5Calpha%20%29%20%3D%20%5Cdfrac%7B5%20%5Ctimes%209%20%20%2B%2011%20%5Ctimes%208%20%7D%7B%5Cleft%20%7C%20%20%5Csqrt%7B5%5E2%20%2B%2011%5E2%7D%20%20%5Cright%20%7C%20%5Ctimes%20%5Cleft%20%7C%20%5Csqrt%7B9%5E2%20%2B%208%5E2%7D%20%20%20%5Cright%20%7C%7D%20%3D%20%5Cdfrac%7B133%7D%7B%5Csqrt%7B146%7D%20%5Ctimes%20%5Csqrt%7B145%7D%20%7D%20%5Capprox%200.91409)
α = arccos(0.91490) ≈ 23.92°
γ = The angle between -y and x
-y = ![\left \langle -9, -8 \right \rangle](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%20%5Clangle%20-9%2C%20-8%20%5Cright%20%5Crangle)
We get;
![cos (\gamma) = \dfrac{-y \cdot x}{\left | -y \right | \times \left | x \right |}](https://tex.z-dn.net/?f=cos%20%28%5Cgamma%29%20%3D%20%5Cdfrac%7B-y%20%5Ccdot%20x%7D%7B%5Cleft%20%7C%20%20-y%20%5Cright%20%7C%20%5Ctimes%20%5Cleft%20%7C%20x%20%20%5Cright%20%7C%7D)
Therefore;
![cos (\gamma) = \dfrac{-9 \times -4 + -8 \times 3 }{\left | \sqrt{(-9)^2 + (-8)^2} \right | \times \left | \sqrt{(-4)^2 + 3^2} \right |} = \dfrac{12}{\sqrt{145} \times \sqrt{25} } \approx 0.199309](https://tex.z-dn.net/?f=cos%20%28%5Cgamma%29%20%3D%20%5Cdfrac%7B-9%20%5Ctimes%20-4%20%20%2B%20-8%20%5Ctimes%203%20%7D%7B%5Cleft%20%7C%20%20%5Csqrt%7B%28-9%29%5E2%20%2B%20%28-8%29%5E2%7D%20%20%5Cright%20%7C%20%5Ctimes%20%5Cleft%20%7C%20%5Csqrt%7B%28-4%29%5E2%20%2B%203%5E2%7D%20%20%20%5Cright%20%7C%7D%20%3D%20%5Cdfrac%7B12%7D%7B%5Csqrt%7B145%7D%20%5Ctimes%20%5Csqrt%7B25%7D%20%7D%20%5Capprox%200.199309)
γ = arccos(0.199309) ≈ 78.503°
γ ≈ 78.503°
By angle sum property, β = 180° - (α + β)
β ≈ 180° - (23.92° + 78.503°) = 77.577°
β ≈ 77.577°
The interior angles are;
23.92°, 78.503°, and 77.577°