If <em>L</em><em>(t)</em> = ⟨5 + <em>t</em>, 1 + 5<em>t</em>⟩, then the tangent vector to <em>L</em><em>(t)</em> is
d<em>L</em>/d<em>t</em> = ⟨1, 5⟩
Any line <u>parallel</u> to <em>L</em><em>(t)</em> will have the same tangent vector, up to some scalar factor (that is, if the tangent vector is a multiple of ⟨1, 5⟩).
Any line <em>r</em><em>(t)</em> with tangent vector <em>T</em><em>(t)</em> = d<em>r</em>/d<em>t</em> that is <u>perpendicular</u> to <em>L</em><em>(t)</em> will satisfy
<em>T</em><em>(t)</em> • ⟨1, 5⟩ = 0
• <em>r</em><em>(t)</em> = ⟨-5, -2<em>t</em>, 1 - 10<em>t</em>⟩ is parallel to <em>L</em><em>(t)</em> because its tangent vector is
<em>T</em><em>(t)</em> = ⟨-2, -10⟩ = -2 ⟨1, 5⟩
• <em>r</em><em>(t)</em> = ⟨1 + 1.5<em>t</em>, 3 + 7.5<em>t</em>⟩ is parallel to <em>L</em><em>(t)</em> because
<em>T</em><em>(t)</em> = ⟨1.5, 7.5⟩ = 1.5 ⟨1, 5⟩
• <em>r</em><em>(t)</em> = ⟨-2 - <em>t</em>, 2 - 2<em>t</em>⟩ is neither parallel nor perpendicular to <em>L</em><em>(t)</em> because
<em>T</em><em>(t)</em> = ⟨-1, -2⟩ ≠ <em>k</em> ⟨1, 5⟩
for any real <em>k</em> (in other words, there is no <em>k</em> such that -1 = <em>k</em> and -2 = 5<em>k</em>), and
⟨-1, -2⟩ • ⟨1, 5⟩ = -1 - 10 = -11 ≠ 0
• <em>r</em><em>(t)</em> = ⟨3 + 15<em>t</em>, -3<em>t</em>⟩ is perpendicular to <em>L</em><em>(t)</em> because
<em>T</em><em>(t)</em> = ⟨15, -3⟩
and
⟨15, -3⟩ • ⟨1, 5⟩ = 15 - 15 = 0