(a) <em>z</em> = 3<em>x</em> ² - 4<em>xy</em> + 15<em>y</em> ²
has first-order partial derivatives
∂<em>z</em>/∂<em>x</em> = 6<em>x</em> - 4<em>y</em>
∂<em>z</em>/∂<em>y</em> = -4<em>x</em> + 30<em>y</em>
and thus second-order partial derivatives
∂²<em>z</em>/∂<em>x</em> ² = 6
∂²<em>z</em>/∂<em>x</em>∂<em>y</em> = -4
∂²<em>z</em>/∂<em>y</em>∂<em>x</em> = -4
∂²<em>z</em>/∂<em>y</em> ² = 30
where ∂²<em>z</em>/∂<em>x</em>∂<em>y</em> = ∂/∂<em>x</em> [∂<em>z</em>/∂<em>y</em>] and ∂²<em>z</em>/∂<em>y</em>∂<em>x</em> = ∂/∂<em>y</em> [∂<em>z</em>/∂<em>x</em>].
(b) <em>z</em> = 4<em>x</em> <em>eʸ</em>
∂<em>z</em>/∂<em>x</em> = 4<em>eʸ</em>
∂<em>z</em>/∂<em>y</em> = 4<em>x</em> <em>eʸ</em>
∂²<em>z</em>/∂<em>x</em> ² = 0
∂²<em>z</em>/∂<em>x</em>∂<em>y</em> = 4<em>eʸ</em>
∂²<em>z</em>/∂<em>y</em>∂<em>x</em> = 4<em>eʸ</em>
∂²<em>z</em>/∂<em>y</em> ² = 4<em>x</em> <em>eʸ</em>
<em />
(c) <em>z</em> = 6<em>x</em> ln(<em>y</em>)
∂<em>z</em>/∂<em>x</em> = 6 ln(<em>y</em>)
∂<em>z</em>/∂<em>y</em> = 6<em>x</em>/<em>y</em>
∂²<em>z</em>/∂<em>x</em> ² = 0
∂²<em>z</em>/∂<em>x</em>∂<em>y</em> = 6/<em>y</em>
∂²<em>z</em>/∂<em>y</em>∂<em>x</em> = 6/<em>y</em>
∂²<em>z</em>/∂<em>y</em> ² = -6<em>x</em>/<em>y</em> ²
