2 sin²(<em>x</em>) + 3 sin(<em>x</em>) + 1 = 0
(2 sin(<em>x</em>) + 1) (sin(<em>x</em>) + 1) = 0
2 sin(<em>x</em>) + 1 = 0 OR sin(<em>x</em>) + 1 = 0
sin(<em>x</em>) = -1/2 OR sin(<em>x</em>) = -1
The first equation gives two solution sets,
<em>x</em> = sin⁻¹(-1/2) + 2<em>nπ</em> = -<em>π</em>/6 + 2<em>nπ</em>
<em>x</em> = <em>π</em> - sin⁻¹(-1/2) + 2<em>nπ</em> = 5<em>π</em>/6 + 2<em>nπ</em>
(where <em>n</em> is any integer), while the second equation gives
<em>x</em> = sin⁻¹(-1) + 2<em>nπ</em> = -<em>π</em>/2 + 2<em>nπ</em>
2 cot(<em>x</em>) sec(<em>x</em>) + 2 sec(<em>x</em>) + cot(<em>x</em>) + 1 = 0
2 sec(<em>x</em>) (cot(<em>x</em>) + 1) + cot(<em>x</em>) + 1 = 0
(2 sec(<em>x</em>) + 1) (cot(<em>x</em>) + 1) = 0
2 sec(<em>x</em>) + 1 = 0 OR cot(<em>x</em>) + 1 = 0
sec(<em>x</em>) = -1/2 OR cot(<em>x</em>) = -1
cos(<em>x</em>) = -2 OR tan(<em>x</em>) = -1
The first equation has no (real) solutions, since -1 ≤ cos(<em>x</em>) ≤ 1 for all (real) <em>x</em>. The second equation gives
<em>x</em> = tan⁻¹(-1) + <em>nπ</em> = -<em>π</em>/4 + <em>nπ</em>
<em />
sin(<em>x</em>) cos²(<em>x</em>) = sin(<em>x</em>)
sin(<em>x</em>) cos²(<em>x</em>) - sin(<em>x</em>) = 0
sin(<em>x</em>) (cos²(<em>x</em>) - 1) = 0
sin(<em>x</em>) (-sin²(<em>x</em>)) = 0
sin³(<em>x</em>) = 0
sin(<em>x</em>) = 0
<em>x</em> = sin⁻¹(0) + 2<em>nπ</em> = 2<em>nπ</em>
<em />
2 cos²(<em>x</em>) + 2 sin(<em>x</em>) - 12 = 0
2 (1 - sin²(<em>x</em>)) + 2 sin(<em>x</em>) - 12 = 0
-2 sin²(<em>x</em>) + 2 sin(<em>x</em>) - 10 = 0
sin²(<em>x</em>) - sin(<em>x</em>) + 5 = 0
Using the quadratic formula, we get
sin(<em>x</em>) = (1 ± √(1 - 20)) / 2 = (1 ± √(-19)) / 2
but the square root contains a negative number, which means there is no real solution.
2 csc²(<em>x</em>) + cot²(<em>x</em>) - 3 = 0
2 (cot²(<em>x</em>) + 1) + cot²(<em>x</em>) - 3 = 0
3 cot²(<em>x</em>) - 1 = 0
cot²(<em>x</em>) = 1/3
tan²(<em>x</em>) = 3
tan(<em>x</em>) = ± √3
<em>x</em> = tan⁻¹(√3) + <em>nπ</em> OR <em>x</em> = tan⁻¹(-√3) + <em>nπ</em>
<em>x</em> = <em>π</em>/3 + <em>nπ</em> OR <em>x</em> = -<em>π</em>/3 + <em>nπ</em>
