The differential equation
d<em>y</em>/d<em>x</em> = <em>x</em> sin(<em>x</em> ²) / <em>y</em>
is separable as
<em>y</em> d<em>y</em> = <em>x</em> sin(<em>x</em> ²) d<em>x</em>
Integrate both sides:
∫ <em>y</em> d<em>y</em> = ∫ <em>x</em> sin(<em>x</em> ²) d<em>x</em>
∫ <em>y</em> d<em>y</em> = 1/2 ∫ 2<em>x</em> sin(<em>x</em> ²) d<em>x</em>
∫ <em>y</em> d<em>y</em> = 1/2 ∫ sin(<em>x</em> ²) d(<em>x</em> ²)
1/2 <em>y</em> ² = -1/2 cos(<em>x</em> ²) + <em>C</em>
Solve for <em>y</em> implicitly:
<em>y</em> ² = -cos(<em>x</em> ²) + <em>C</em>
Given that <em>y</em> = 1 when <em>x</em> = 0, we get
1² = -cos(0²) + <em>C</em>
1 = -cos(0) + <em>C</em>
1 = -1 + <em>C</em>
<em>C</em> = 2
Then the particular solution to the DE is
<em>y</em> ² = 2 - cos(<em>x</em> ²)
Solving explicitly for <em>y</em> would give two solutions,
<em>y</em> = ± √(2 - cos(<em>x</em> ²))
but only the one with the positive square root satisfies the initial condition:
√(2 - cos(0²)) = √1 = 1
-√(2 - cos(0²)) = -√1 = -1 ≠ 1
So the unique solution to this DE is
<em>y</em> = √(2 - cos(<em>x</em> ²))
