We use a similar strategy as in your previous question. Rewrite:
sin(5<em>x</em>) = sin(6<em>x</em> - <em>x</em>) = sin(6<em>x</em>) cos(<em>x</em>) - cos(6<em>x</em>) sin(<em>x</em>)
sin(7<em>x</em>) = sin(6<em>x</em> + <em>x</em>) = sin(6<em>x</em>) cos(<em>x</em>) + cos(6<em>x</em>) sin(<em>x</em>)
→ sin(5<em>x</em>) - sin(7<em>x</em>) = -2 cos(6<em>x</em>) sin(<em>x</em>)
sin(4<em>x</em>) = sin(6<em>x</em> - 2<em>x</em>) = sin(6<em>x</em>) cos(2<em>x</em>) - cos(6<em>x</em>) sin(2<em>x</em>)
sin(8<em>x</em>) = sin(6<em>x</em> + 2<em>x</em>) = sin(6<em>x</em>) cos(2<em>x</em>) + cos(6<em>x</em>) sin(2<em>x</em>)
→ sin(8<em>x</em>) - sin(4<em>x</em>) = 2 cos(6<em>x</em>) sin(2<em>x</em>)
cos(5<em>x</em>) = cos(6<em>x</em> - <em>x</em>) = cos(6<em>x</em>) cos(<em>x</em>) + sin(6<em>x</em>) sin(<em>x</em>)
cos(7<em>x</em>) = cos(6<em>x</em> + <em>x</em>) = cos(6<em>x</em>) cos(<em>x</em>) - sin(6<em>x</em>) sin(<em>x</em>)
→ cos(7<em>x</em>) - cos(5<em>x</em>) = -2 sin(6<em>x</em>) sin(<em>x</em>)
cos(4<em>x</em>) = cos(6<em>x</em> - 2<em>x</em>) = cos(6<em>x</em>) cos(2<em>x</em>) + sin(6<em>x</em>) sin(2<em>x</em>)
cos(8<em>x</em>) = cos(6<em>x</em> + 2<em>x</em>) = cos(6<em>x</em>) cos(2<em>x</em>) - sin(6<em>x</em>) sin(2<em>x</em>)
→ cos(4<em>x</em>) - cos(8<em>x</em>) = 2 sin(6<em>x</em>) sin(2<em>x</em>)
Then
(sin(5<em>x</em>) - sin(7<em>x</em>) - sin(4<em>x</em>) + sin(8<em>x</em>)) / (cos(4<em>x</em>) - cos(5<em>x</em>) - cos(8<em>x</em>) + cos(7<em>x</em>))
= (2 cos(6<em>x</em>) sin(2<em>x</em>) - 2 cos(6<em>x</em>) sin(<em>x</em>)) / (2 sin(6<em>x</em>) sin(2<em>x</em>) - 2 sin(6<em>x</em>) sin(<em>x</em>))
= (2 cos(6<em>x</em>) (sin(2<em>x</em>) - sin(<em>x</em>))) / (2 sin(6<em>x</em>) (sin(2<em>x</em>) - sin(<em>x</em>)))
= cos(6<em>x</em>) / sin(6<em>x</em>)
= cot(6<em>x</em>)
QED
