Question

Dados os vetores u = (2, -3, -1) e v = (1, -1, 4) o resultado de (u + v) x ( u - v) é igual a?

Answer 1

The cross product distributes over sums, so we have

[O produto cruzado distribui somas, então temos]

(u + v) × (u - v) = (u × u) + (v × u) + (u × (-v)) + (v × (-v))

(u + v) × (u - v) = (u × u) + (v × u) - (u × v) - (v × v)

The cross product of a vector with itself is the zero vector, so

[O produto vetorial de um vetor com ele mesmo é o vetor zero, então]

(u + v) × (u - v) = 0 + (v × u) - (u × v) - 0

(u + v) × (u - v) = (v × u) - (u × v)

The cross product is anticommutative, meaning that for two vectors u and v,

[O produto vetorial é anticomutativo, o que significa que para dois vetores u e v,]

u × v = - (v × u)

So we end up with

[Então acabamos com]

(u + v) × (u - v) = (v × u) + (v × u)

(u + v) × (u - v) = 2 (v × u)

Given that u = (2, -3, -1) and v = (1, -1, 4), compute the cross product as follows:

[Dados esses vetores, calcule o produto vetorial:]

(1, -1, 4) × (2, -3, -1)

= ((1, 0, 0) - (0, 1, 0) + 4 (0, 0, 1)) × (2 (1, 0, 0) - 3 (0, 1, 0) - (0, 0, 1))

= 2 (1, 0, 0) × (1, 0, 0) - 2 (0, 1, 0) × (1, 0, 0) + 8 (0, 0, 1) × (1, 0, 0)

… … - 3 (1, 0, 0) × (0, 1, 0) + 3 (0, 1, 0) × (0, 1, 0) - 12 (0, 0, 1) × (0, 1, 0)

… … - (1, 0, 0) × (0, 0, 1) + (0, 1, 0) × (0, 0, 1) - 4 (0, 0, 1) × (0, 0, 1)

Recall the definition of the cross product:

[Lembre-se da definição de produto vetorial:]

(1, 0, 0) × (0, 1, 0) = (0, 0, 1)

(0, 1, 0) × (0, 0, 1) = (1, 0, 0)

(0, 0, 1) × (1, 0, 0) = (0, 1, 0)

The product reduces to

[O produto se reduz a]

(1, -1, 4) × (2, -3, -1)

= -2 (0, 1, 0) × (1, 0, 0) + 8 (0, 0, 1) × (1, 0, 0)

… … - 3 (1, 0, 0) × (0, 1, 0) - 12 (0, 0, 1) × (0, 1, 0)

… … - (1, 0, 0) × (0, 0, 1) + (0, 1, 0) × (0, 0, 1)

= 2 (0, 0, 1) + 8 (0, 1, 0) - 3 (0, 0, 1) + 12 (1, 0, 0) + (0, 1, 0) + (1, 0, 0)

= - (0, 0, 1) + 9 (0, 1, 0) + 13 (1, 0, 0)

= (13, 9, -1)

Finally,

[Finalmente,]

(u + v) × (u - v) = 2 (13, 9, -1) = (26, 18, -2)