(i) 3 csc²(<em>x</em>) - 4 = 0
3 csc²(<em>x</em>) = 4
csc²(<em>x</em>) = 4/3
sin²(<em>x</em>) = 3/4
sin(<em>x</em>) = ± √3/2
<em>x</em> = arcsin(√3/2) + 2<em>nπ</em> <u>or</u> <em>x</em> = arcsin(-√3/2) + 2<em>nπ</em>
<em>x</em> = <em>π</em>/3 + 2<em>nπ</em> <u>or</u> <em>x</em> = -<em>π</em>/3 + 2<em>nπ</em>
where <em>n</em> is any integer. The general result follows from the fact that sin(<em>x</em>) is 2<em>π</em>-periodic.
In the interval 0 ≤ <em>x</em> ≤ 2<em>π</em>, the first family of solutions gives <em>x</em> = <em>π</em>/3 and <em>x</em> = 4<em>π</em>/3 for <em>n</em> = 0 and <em>n</em> = 1, respectively; the second family gives <em>x</em> = 2<em>π</em>/3 and <em>x</em> = 5<em>π</em>/3 for <em>n</em> = 1 and <em>n</em> = 2.
(ii) 4 cos²(<em>x</em>) + 2 cos(<em>x</em>) - 2 = 0
2 cos²(<em>x</em>) + cos(<em>x</em>) - 1 = 0
(2 cos(<em>x</em>) - 1) (cos(<em>x</em>) + 1) = 0
2 cos(<em>x</em>) - 1 = 0 <u>or</u> cos(<em>x</em>) + 1 = 0
2 cos(<em>x</em>) = 1 <u>or</u> cos(<em>x</em>) = -1
cos(<em>x</em>) = 1/2 <u>or</u> cos(<em>x</em>) = -1
[<em>x</em> = arccos(1/2) + 2<em>nπ</em> <u>or</u> <em>x</em> = 2<em>π</em> - arccos(1/2) + 2<em>nπ</em>] <u>or</u> <em>x</em> = arccos(-1) + 2<em>nπ</em>
[<em>x</em> = <em>π</em>/3 + 2<em>nπ</em> <u>or</u> <em>x</em> = 5<em>π</em>/3 + 2<em>nπ</em>] <u>or</u> <em>x</em> = <em>π</em> + 2<em>nπ</em>
For 0 ≤ <em>x</em> ≤ 2<em>π</em>, the solutions are <em>x</em> = <em>π</em>/3, <em>x</em> = 5<em>π</em>/3, and <em>x</em> = <em>π</em>.
