If the equation is tan(2<em>x</em>) - 2 cos(<em>x</em>) = 0:
We have
tan(2<em>x</em>) = sin(2<em>x</em>) / cos(2<em>x</em>)
sin(2<em>x</em>) = 2 sin(<em>x</em>) cos(<em>x</em>)
So, rewriting the equation gives
tan(2<em>x</em>) - 2 cos(<em>x</em>) = 0
2 sin(<em>x</em>) cos(<em>x</em>) / cos(2<em>x</em>) - 2 cos(<em>x</em>) cos(2<em>x</em>) / cos(2<em>x</em>)= 0
2 cos(<em>x</em>) • (sin(<em>x</em>) - cos(2<em>x</em>)) / cos(2<em>x</em>) = 0
The left side is 0 whenever the numerator is 0:
2 cos(<em>x</em>) = 0 or sin(<em>x</em>) - cos(2<em>x</em>) = 0
cos(<em>x</em>) = 0 or sin(<em>x</em>) - (1 - 2 sin²(<em>x</em>)) = 0
cos(<em>x</em>) = 0 or 2 sin²(<em>x</em>) + sin(<em>x</em>) - 1 = 0
cos(<em>x</em>) = 0 or (2 sin(<em>x</em>) - 1) (sin(<em>x</em>) + 1) = 0
cos(<em>x</em>) = 0 or 2 sin(<em>x</em>) - 1 = 0 or sin(<em>x</em>) + 1 = 0
cos(<em>x</em>) = 0 or sin(<em>x</em>) = 1/2 or sin(<em>x</em>) = -1
Solving each case gives 3 families of solutions:
[<em>x</em> = <em>π</em>/2 + 2<em>nπ</em> or <em>x</em> = -<em>π</em>/2 + 2<em>nπ</em>] or
[<em>x</em> = <em>π</em>/6 + 2<em>nπ</em> or <em>x</em> = 5<em>π</em>/6 + 2<em>nπ</em>] or
[<em>x</em> = -<em>π</em>/2 + 2<em>nπ</em>]
where <em>n</em> is any integer. The last family is already accounted for in the first, so
<em>x</em> = <em>π</em>/2 + 2<em>nπ</em> or <em>x</em> = -<em>π</em>/2 + 2<em>nπ</em> or <em>x</em> = <em>π</em>/6 + 2<em>nπ</em> or <em>x</em> = 5<em>π</em>/6 + 2<em>nπ</em>
