Answer:
a) El error máximo posible es 270 centímetros cúbicos. El error relativo asociado al volumen es 0.01. El error asociado al volumen es 1 por ciento.
b) El máximo error posible del área superficial es 36 centímetros cuadrados. El máximo error posible del área superficial es 36 centímetros cuadrados. El porcentaje de error del área superficial es 0.667 por ciento.
Step-by-step explanation:
Recordemos que el volumen y el área superficial de un cubo quedan representados por las respectivas fórmulas:
(Ec. 1)
(Ec. 2)
Donde:
- Longitud de la arista, medida en centímetros.
- Área superficial, medida en centrímetros cuadrados.
- Volumen, medido en centímetros cúbicos.
a) El error máximo posible del volumen del cubo se estima por el siguiente diferencial:
(Ec. 3)
Donde:
- Error máximo posible del volumen, medido en centímetros cúbicos.
- Primera derivada parcial del volumen con respecto a la longitud de la arista, medida en centrímetros cuadrados.
- Error máximo de medición, medido en centímetros.
La derivada parcial de la función de volumen es:
(Ec. 4)
Ahora expandimos (Ec. 3):
Si conocemos que y , el máximo error posible del volumen es:
El error máximo posible del volumen es 270 centímetros cúbicos.
Obtenemos el error relativo al dividir el resultado anterior por el volumen, es decir:
(Ec. 5)
El volumen del cubo es: ()
Ahora sustituimos (Ec. 5):
El error relativo asociado al volumen es 0.01.
Por último, encontramos el porcentaje de error asociado al volumen:
El error asociado al volumen es 1 por ciento.
b) El error máximo posible del área superficial del cubo se estima por el siguiente diferencial:
(Ec. 6)
Donde:
- Error máximo posible del área superficial, medido en centímetros cuadrados.
- Primera derivada parcial del área superficial con respecto a la longitud de la arista, medida en centrímetros.
- Error máximo de medición, medido en centímetros.
La derivada parcial de la función de área superficial es:
(Ec. 7)
Ahora expandimos (Ec. 6):
Si conocemos que y , el máximo error posible del área superficial es:
El máximo error posible del área superficial es 36 centímetros cuadrados.
Obtenemos el error relativo al dividir el resultado anterior por el volumen, es decir:
(Ec. 8)
El área superficial del cubo es: ()
Ahora sustituimos (Ec. 8):
El error relativo del área superficial es 6.667 × 10⁻³.
Por último, encontramos el porcentaje de error asociado al área superficial:
El porcentaje de error del área superficial es 0.667 por ciento.