Given that exp(2<em>x</em>) is a solution, we assume another solution of the form
<em>y(x)</em> = <em>v(x)</em> exp(2<em>x</em>) = <em>v</em> exp(2<em>x</em>)
with derivatives
<em>y'</em> = <em>v'</em> exp(2<em>x</em>) + 2<em>v</em> exp(2<em>x</em>)
<em>y''</em> = <em>v''</em> exp(2<em>x</em>) + 4<em>v'</em> exp(2<em>x</em>) + 4<em>v</em> exp(2<em>x</em>)
Substitute these into the equation:
(2<em>x</em> + 5) (<em>v''</em> exp(2<em>x</em>) + 4<em>v'</em> exp(2<em>x</em>) + 4<em>v</em> exp(2<em>x</em>)) - 4 (<em>x</em> + 3) (<em>v'</em> exp(2<em>x</em>) + 2<em>v</em> exp(2<em>x</em>)) + 4<em>v</em> exp(2<em>x</em>) = 0
Each term contains a factor of exp(2<em>x</em>) that can be divided out:
(2<em>x</em> + 5) (<em>v''</em> + 4<em>v'</em> + 4<em>v</em>) - 4 (<em>x</em> + 3) (<em>v'</em> + 2<em>v</em>) + 4<em>v</em> = 0
Expanding and simplifying eliminates the <em>v</em> term:
(2<em>x</em> + 5) <em>v''</em> + (4<em>x</em> + 8) <em>v'</em> = 0
Substitute <em>w(x)</em> = <em>v'(x)</em> to reduce the order of the equation, and you're left with a linear ODE:
(2<em>x</em> + 5) <em>w'</em> + (4<em>x</em> + 8) <em>w</em> = 0
<em>w'</em> + (4<em>x</em> + 8)/(2<em>x</em> + 5) <em>w</em> = 0
I'll use the integrating factor method. The IF is
<em>µ(x)</em> = exp( ∫ (4<em>x</em> + 8)/(2<em>x</em> + 5) d<em>x </em>) = exp(2<em>x</em> - log|2<em>x</em> + 5|) = exp(2<em>x</em>)/(2<em>x</em> + 5)
Multiply through the ODE in <em>w</em> by <em>µ</em> :
<em>µw'</em> + <em>µ</em> (4<em>x</em> + 8)/(2<em>x</em> + 5) <em>w</em> = 0
The left side is the derivative of a product:
[<em>µw</em>]<em>'</em> = 0
Integrate both sides:
∫ [<em>µw</em>]<em>'</em> d<em>x</em> = ∫ 0 d<em>x</em>
<em>µw</em> = <em>C</em>
Replace <em>w</em> with <em>v'</em>, then integrate to solve for <em>v</em> :
exp(2<em>x</em>)/(2<em>x</em> + 5) <em>v'</em> = <em>C</em>
<em>v'</em> = <em>C</em> (2<em>x</em> + 5) exp(-2<em>x</em>)
∫ <em>v'</em> d<em>x</em> = ∫ <em>C</em> (2<em>x</em> + 5) exp(-2<em>x</em>) d<em>x</em>
<em>v</em> = <em>C₁</em> (<em>x</em> + 3) exp(-2<em>x</em>) + <em>C₂</em>
Replace <em>v</em> with <em>y</em> exp(-2<em>x</em>) and solve for <em>y</em> :
<em>y</em> exp(-2<em>x</em>) = <em>C₁</em> (<em>x</em> + 3) exp(-2<em>x</em>) + <em>C₂</em>
<em>y</em> = <em>C₁</em> (<em>x</em> + 3) + <em>C₂</em> exp(2<em>x</em>)
It follows that the second fundamental solution is <em>y</em> = <em>x</em> + 3. (The exp(2<em>x</em>) here is already accounted for as the first solution.)
