If you're trying to establish an identity, the given equation is not an identity. The proper identity would be as follows:
(1 - sin(<em>x</em>) + cos(<em>x</em>))² = (1 - sin(<em>x</em>))² + 2 (1 - sin(<em>x</em>)) cos(<em>x</em>) + cos²(<em>x</em>)
… = (1 - 2 sin(<em>x</em>) + sin²(<em>x</em>)) + 2 (1 - sin(<em>x</em>)) cos(<em>x</em>) + cos²(<em>x</em>)
… = 2 - 2 sin(<em>x</em>) + 2 (1 - sin(<em>x</em>)) cos(<em>x</em>)
… = 2 - 2 sin(<em>x</em>) + 2 cos(<em>x</em>) - 2 sin(<em>x</em>) cos(<em>x</em>)
… = 2 (1 - sin(<em>x</em>) + cos(<em>x</em>) - sin(<em>x</em>) cos(<em>x</em>))
… = 2 (1 - sin(<em>x</em>) + cos(<em>x</em>) (1 - sin(<em>x</em>)))
… = 2 (1 - sin(<em>x</em>)) (1 + cos(<em>x</em>))
But if you're trying to solve an equation:
(1 - sin(<em>x</em>) + cos(<em>x</em>))² = 2 (1 + sin(<em>x</em>)) (1 + cos(<em>x</em>))
2 (1 - sin(<em>x</em>)) (1 + cos(<em>x</em>)) = 2 (1 + sin(<em>x</em>)) (1 + cos(<em>x</em>))
(1 - sin(<em>x</em>)) (1 + cos(<em>x</em>)) - (1 + sin(<em>x</em>)) (1 + cos(<em>x</em>)) = 0
(1 + cos(<em>x</em>)) (1 - sin(<em>x</em>) - 1 - sin(<em>x</em>)) = 0
-2 sin(<em>x</em>) (1 + cos(<em>x</em>)) = 0
sin(<em>x</em>) = 0 <u>or</u> 1 + cos(<em>x</em>) = 0
sin(<em>x</em>) = 0 <u>or</u> cos(<em>x</em>) = -1
[<em>x</em> = arcsin(0) + 2<em>nπ</em> <u>or</u> <em>x</em> = arcsin(0) + <em>π</em> + 2<em>nπ</em>] <u>or</u>
… [<em>x</em> = arccos(-1) + 2<em>nπ</em>]
We have arcsin(0) = 0 and arccos(-1) = <em>π</em>, so the solution set reduces to
<em>x</em> = 2<em>nπ</em> <u>or</u> <em>x</em> = (2<em>n</em> + 1)<em>π</em>
(where <em>n</em> is any integer)
