We have
0 < <em>π</em>/12 < <em>π</em>/2
and
tan(<em>π</em>/12) = sin(<em>π</em>/12) / cos(<em>π</em>/12)
Both sin(<em>x</em>) and cos(<em>x</em>) are positive for 0 < <em>x</em> < <em>π</em>/2, so we expect tan(<em>π</em>/12) to also be positive.
Recall the double-angle identities for cosine,
cos²(<em>x</em>) = (1 + cos(2<em>x</em>)) / 2
as well as the Pythagorean identity,
tan²(<em>x</em>) = sec²(<em>x</em>) - 1
and by definition,
sec(<em>x</em>) = 1 / cos(<em>x</em>)
Putting everything together, we have
tan(<em>x</em>) = √(1 / cos²(<em>x</em>) - 1)
tan(<em>x</em>) = √(2 / (1 + cos(2<em>x</em>)) - 1)
Let <em>x</em> = <em>π</em>/12. Then 2<em>x</em> = <em>π</em>/6, and cos(<em>π</em>/6) = √3 / 2, so that
tan(<em>π</em>/12) = √(2 / (1 + cos(<em>π</em>/6)) - 1)
tan(<em>π</em>/12) = √(2 / (1 + √3 / 2) - 1)
tan(<em>π</em>/12) = √(4 / (2 + √3) - 1)
tan(<em>π</em>/12) = √(4 / (2 + √3) - (2 + √3) / (2 + √3))
tan(<em>π</em>/12) = √((2 - √3) / (2 + √3))
tan(<em>π</em>/12) = √(7 - 4 √3)