Question

In the adjoining equilateral triangle PQR , X , Y and Z are the middle points of the sides PQ , QR and RP respectively. Prove that XYZ is also an equilateral triangle.
~Thanks in advance ! ​

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Step-by-step explanation:

Statements:                                                        Reasons:

$1)\text{ } \Delta PQR\text{ is equilateral}$                                        Given

$2)\text{ }PQ=QR=RP$                                               Definition of Equilateral

$3)\text{ } X, Y, Z\text{ are the midpoints of } PQ, QR, RP$       Given

$4)\text{ } PX=XQ$                                                        Definition of Midpoint

$5)PQ=PX+XQ$                                               Segment Addition

$6)\text{ } PQ=2XQ$                                                      Substitution

$7)\text{ } QY=YR$                                                        Definition of Midpoint

$8)\text{ }QR=QY+YR$                                               Segment Addition

$9)\text{ } QR=2QY$                                                       Substitution

$10)\text{ } 2XQ=2QY$                                                  Substitution

$11)\text{ } XQ=QY$                                                      Division Property of Equality

$12)\text{ } XQ=PX=QY=YR$                                Transitive Property

$13)\text{ } RZ=ZP$                                                       Definition of Midpoint

$14)\text{ } RP=RZ+ZP$                                             Segment Addition

$15)\text{ } RP=2RZ$                                                     Substitution

$16)\text{ } 2XQ=2RZ$                                                   Substitution

$17)\text{ } XQ=RZ$                                                       Substitution

$18)\text{ } XQ=PX=QY=YR=RZ=ZP$            Transitive Property

$19)\text{ } \angle Q\cong \angle R\cong \angle P$                                             Definition of Equilateral

$20)\text{ } \Delta XQY\cong \Delta YRQ \cong \Delta ZPX$                          SAS Congruence

$21)\text{ } XY\cong YZ\cong ZX$                                           CPCTC

$22)\text{ } \Delta XYZ\text{ is equilateral}$                                     Equilateral Triangle Theorem