Let <em>X(s)</em> and <em>Y(s)</em> denote the Laplace transforms of <em>x(t)</em> and <em>y(t)</em>, respectively. Then taking the transform of both sides of both equations gives
LT[d<em>x</em>/d<em>t</em> + 5<em>x</em> + d<em>y</em>/d<em>t</em>] = LT[1]
==> <em>s</em> <em>X(s)</em> - <em>x</em> (0) + 5 <em>X(s)</em> + <em>s</em> <em>Y(s)</em> - <em>y</em> (0) = 1/<em>s</em>
==> <em>s</em> <em>X(s)</em> + 5 <em>X(s)</em> + <em>s</em> <em>Y(s)</em> = 1/<em>s</em>
==> (<em>s</em> + 5) <em>X(s)</em> + <em>s</em> <em>Y(s)</em> = 1/<em>s</em>
<em />
LT[d<em>x</em>/d<em>t</em> - <em>x</em> + d<em>y</em>/d<em>t</em> - <em>y</em>] = LT[exp(<em>t</em> )]
==> <em>s</em> <em>X(s)</em> - <em>x</em> (0) - <em>X(s)</em> + <em>s</em> <em>Y(s)</em> - <em>y</em> (0) - <em>Y(s)</em> = 1/(<em>s</em> - 1)
==> <em>s</em> <em>X(s)</em> - <em>X(s)</em> + <em>s</em> <em>Y(s)</em> - <em>Y(s)</em> = 1/(<em>s</em> - 1)
==> (<em>s</em> - 1) <em>X(s)</em> + (<em>s</em> - 1) <em>Y(s)</em> = 1/(<em>s</em> - 1)
Solve for <em>X(s)</em> and <em>Y(s)</em>. Using elimination, you would get
<em>X(s)</em> = (1 - 2<em>s</em>) / (5<em>s</em> (<em>s</em> - 1)²)
<em>Y(s)</em> = (7<em>s</em> - 1) / (5<em>s</em> (<em>s</em> - 1)²)
Now take the inverse transforms of each. Start by getting the partial fraction decompositions:
(1 - 2<em>s</em>) / (5<em>s</em> (<em>s</em> - 1)²) = 1/5 (<em>a</em>/<em>s</em> + <em>b</em>/(<em>s</em> - 1) + <em>c</em>/(<em>s</em> - 1)²)
-2<em>s</em> + 1 = <em>a</em> (<em>s</em> - 1)² + <em>bs</em> (<em>s</em> - 1) + <em>cs</em>
-2<em>s</em> + 1 = (<em>a</em> + <em>b</em>) <em>s</em> ² + (-2<em>a</em> - <em>b</em> + <em>c</em>) <em>s</em> + <em>a</em>
==> <em>a</em> + <em>b</em> = 0, -2<em>a</em> - <em>b</em> + <em>c</em> = -10, <em>a</em> = 5
==> <em>a</em> = 1, <em>b</em> = -1, <em>c</em> = -1
==> <em>X(s)</em> = 1/5 (1/<em>s</em> - 1/(<em>s</em> - 1) - 1/(<em>s</em> - 1)²)
Similarly, you would find
<em>Y(s)</em> = -1/5 (1/<em>s</em> - 1/(<em>s</em> - 1) - 6/(<em>s</em> - 1)²)
Now for the inverse transforms:
LT⁻¹ [1/<em>s</em>] = 1
LT⁻¹ [1/(<em>s</em> - 1)] = exp(<em>t</em> )
LT⁻¹ [1/(<em>s</em> - 1)²] = <em>t</em> exp(<em>t</em> )
Putting everything together, we have
LT⁻¹ [<em>X(s)</em>] = <em>x(t)</em> = 1/5 - 1/5 exp(<em>t</em> ) - 1/5 <em>t</em> exp(<em>t</em> )
and
LT⁻¹ [<em>Y(s)</em>] = <em>y(t)</em> = -1/5 + 1/5 exp(<em>t</em> ) + 6/5 <em>t</em> exp(<em>t</em> )