Question

¿Para cuál(es) valor(es) de p las rectas de ecuación x − 1/p = 2 − y/p y x − 1/1 − p = y − 2/2 son perpendiculares? A) Solo para el 3 B) Solo para el 1 C) Solo para el -1 D) Solo para el -3 E) Para el 0 y el -1

Answer 1

Respuesta:

C) Solo para el -1

Explicación paso a paso:

Para resolver este problema, debemos de determinar la pendiente en cada una de las ecuaciones provistas:

$\frac{x-2}{p}=\frac{2-y}{p}$

y

$\frac{x-1}{1-p}=\frac{y-2}{2}$

ahora bien, necesitamos conocer el valor de la pendiente de una de las dos ecuaciones. Tomemos la primera ecuación y resolvámosla para y:

$\frac{x-2}{p}=\frac{2-y}{p}$

Multiplicamos ambos lados para p y obtenemos:

x-1=2-y

volteamos la ecuación y nos da:

2-y=x-1

pasamos el 2 a restar al otro lado y nos da:

-y=x-1-2

-y=x-3

y dividimos ambos lados de la ecuación dentro de -1

y=-x+3

esta ecuación ya tiene la forma pendiente intercepto:

y=mx+b

donde m es nuestra pendiente:

$m_{1}=-1$

Esta es la pendiente de una de las dos ecuaciones, para que la segunda ecuación sea perpendicular a la primera, su pendiente debe de ser el recíproco negativo de la pendiente de la primera ecuación, entonces la pendiente de la segunda ecuación debe ser:

$m_{2}=-\frac{1}{m_{1}}$

$m_{2}=-\frac{1}{-1}$

$m_{2}=1$

ahora tomamos la segunda ecuación y encontramos su pendiente. Tomemos la ecuación:

$\frac{x-1}{1-p}=\frac{y-2}{2}$

y despejemos y, comenzamos multiplicando ambos lados de la ecuación por 2, así que obtenemos:

$2\frac{x-1}{1-p}=y-2$

Multiplicamos el 2 por cada término de la fracción, entonces obtenemos:

$\frac{2x-2}{1-p}=y-2$

ahora pasamos el 2 a sumar al lado izquierdo y obtenemos:

$\frac{2x-2}{1-p}+2=y$

Ahora podemos separar la fracción del lado izquierdo en dos fracciones para obtener:

$\frac{2x}{1-p}-\frac{2}{1-p}+2=y$

volteamos la ecuación y nos da:

$y=\frac{2x}{1-p}-\frac{2}{1-p}+2$

Ahora nuestra ecuación ya tiene la forma y=mx+b

de aquí podemos determinar nuestra pendiente:

$m=\frac{2}{1-p}$

Con la primera ecuación determinamos que esta pendiente debería de ser igual a 1, entonces igualamos esa segunda pendiente a 1 para obtener:

$\frac{2}{1-p}=1$

y despejamos p

Pasamos a multiplicat el 1-p al lado derecho de la ecuación para obtener:

2=1-p

volteamos la ecuación:

1-p=2

pasamos el 1 a restar al lado derecho:

-p=2-1

-p=1

y multiplicamos ambos lados de la ecuación por -1 para obtener:

p=-1

Entonces la respuesta es C) solo para el -1