In order for two complex numbers to be equal, their real and imaginary parts must match up.
So if
<em>x</em> ² + 2<em>xy</em> + <em>i</em> (<em>y</em> - 1) = <em>x</em> ² - 2<em>x</em> + 2<em>y</em> - <em>i</em> (<em>x</em> + <em>y</em>)
then
<em>x</em> ² + 2<em>xy</em> = <em>x</em> ² - 2<em>x</em> + 2<em>y</em>
and
<em>y</em> - 1 = -<em>x</em> - <em>y</em>
<em />
Solve for <em>x</em> and <em>y</em> : the first equation gives
<em>x</em> ² + 2<em>xy</em> = <em>x</em> ² - 2<em>x</em> + 2<em>y</em>
2<em>xy</em> = 2<em>y</em> - 2<em>x</em>
and the second gives
<em>y</em> - 1 = -<em>x</em> - <em>y</em>
2<em>y</em> = 1 - <em>x</em>
Substitute this into the first equation:
<em>x</em> (1 - <em>x</em>) = (1 - <em>x</em>) - 2<em>x</em>
<em>x</em> - <em>x</em> ² = 1 - 3<em>x</em>
<em>x</em> ² - 4<em>x</em> + 1 = 0
<em>x</em> = 2 ± √3
Then
<em>x</em> = 2 - √3 ==> <em>y</em> = (-1 + √3)/2
<em>x</em> = 2 + √3 ==> <em>y</em> = (-1 - √3)/2
both of which make both sides of the equation (2 - √3) + <em>i</em> (√3 - 3)/2.