Recall that
Var[<em>aX</em> + <em>bY</em>] = <em>a</em> ² Var[<em>X</em>] + 2<em>ab</em> Cov[<em>X</em>, <em>Y</em>] + <em>b</em> ² Var[<em>Y</em>]
Then
Var[3<em>X</em> - 7<em>Y</em>] = 9 Var[<em>X</em>] - 42 Cov[<em>X</em>, <em>Y</em>] + 49 Var[<em>Y</em>]
Now, standard deviation = square root of variance, so
Var[3<em>X</em> - 7<em>Y</em>] = 9×6² - 42×2 + 49×8² = 3376
The general result is easy to prove: by definition,
Var[<em>X</em>] = E[(<em>X</em> - E[<em>X</em>])²] = E[<em>X </em>²] - E[<em>X</em>]²
Cov[<em>X</em>, <em>Y</em>] = E[(<em>X</em> - E[<em>X</em>]) (<em>Y</em> - E[<em>Y</em>])] = E[<em>XY</em>] - E[<em>X</em>] E[<em>Y</em>]
Then
Var[<em>aX</em> + <em>bY</em>] = E[((<em>aX</em> + <em>bY</em>) - E[<em>aX</em> + <em>bY</em>])²]
… = E[(<em>aX</em> + <em>bY</em>)²] - E[<em>aX</em> + <em>bY</em>]²
… = E[<em>a</em> ² <em>X</em> ² + 2<em>abXY</em> + <em>b</em> ² <em>Y</em> ²] - (<em>a</em> E[<em>X</em>] + <em>b</em> E[<em>Y</em>])²
… = E[<em>a</em> ² <em>X</em> ² + 2<em>abXY</em> + <em>b</em> ² <em>Y</em> ²] - (<em>a</em> ² E[<em>X</em>]² + 2 <em>ab</em> E[<em>X</em>] E[<em>Y</em>] + <em>b</em> ² E[<em>Y</em>]²)
… = <em>a</em> ² E[<em>X</em> ²] + 2<em>ab</em> E[<em>XY</em>] + <em>b</em> ² E[<em>Y</em> ²] - <em>a</em> ² E[<em>X</em>]² - 2 <em>ab</em> E[<em>X</em>] E[<em>Y</em>] - <em>b</em> ² E[<em>Y</em>]²
… = <em>a</em> ² (E[<em>X</em> ²] - E[<em>X</em>]²) + 2<em>ab</em> (E[<em>XY</em>] - E[<em>X</em>] E[<em>Y</em>]) + <em>b</em> ² (E[<em>Y</em> ²] - E[<em>Y</em>]²)
… = <em>a</em> ² Var[<em>X</em>] + 2<em>ab</em> Cov[<em>X</em>, <em>Y</em>] + <em>b</em> ² Var[<em>Y</em>]
