(a) The marginal distribution of <em>X</em> is
Pr(<em>X</em> = <em>x</em>) = ∑ Pr(<em>X</em> = <em>x</em>, <em>Y</em> = <em>y</em>)
… = 0.0625 + 0.0625 + 0.0625 + 0.0625
… = 0.25
That is, the first equality follows from the law of total probability, with the sum taken over <em>y</em> from {0, 5, 10, 15}. Each probability Pr(<em>X</em> = <em>x</em>, <em>Y</em> = <em>y</em>) is given in the table to be 0.0625.
Similarly, the marginal distribution of <em>Y</em> is
Pr(<em>Y</em> = <em>y</em>) = 0.25
(b) Yes, they're independent because
Pr(<em>X</em> = <em>x</em>, <em>Y</em> = <em>y</em>) = 0.0625,
and
Pr(<em>X</em> = <em>x</em>) Pr(<em>Y</em> = <em>y</em>) = 0.25 • 0.25 = 0.0625.
(c) The mean of <em>X</em> is
E[<em>X</em>] = ∑ <em>x</em> Pr(<em>X</em> = <em>x</em>)
… = 0.25 ∑ <em>x</em>
<em>… </em>= 0.25 (0 + 5 + 10 + 15)
… = 7.5
and you would find the same mean for <em>Y</em>,
E[<em>Y</em>] = 7.5
The variance of <em>X</em> is
V[<em>X</em>] = E[<em>X</em>^2] - E[<em>X</em>]^2
… = (∑ <em>x</em>^2 Pr(<em>X</em> = <em>x</em>)) - 7.5^2
… = 0.25 (∑ <em>x</em>^2) - 56.25
… = 0.25 (0^2 + 5^2 + 10^2 + 15^2) - 56.25
… = 31.25
and similarly,
V[<em>Y</em>] = 31.25
(each sum is taken with <em>x</em> and <em>y</em> from {0, 5, 10, 15})
