Let <em>f(x</em>, <em>y</em>, <em>z)</em> = <em>z</em> - arctan(<em>x y</em>). Compute the gradient of <em>f</em> at the point (0, 3, 0):
∇ <em>f(x</em>, <em>y</em>, <em>z)</em> = (-<em>y</em> / (1 + <em>x</em>²<em>y</em>²), -<em>x</em> / (1 + <em>x</em>²<em>y</em>²), 1)
∇ <em>f </em>(0, 3, 0) = (-3, 0, 1)
This vector is orthogonal to the surface <em>z</em> = <em>f(x</em>, <em>y)</em>. Then the equation of the tangent plane is
∇ <em>f </em>(0, 3, 0) • (<em>x</em>, <em>y</em> - 3, <em>z</em>) = 0
(-3, 0, 1) • (<em>x</em>, <em>y</em> - 3, <em>z</em>) = 0
-3<em>x</em> + <em>z</em> = 0
<em>z</em> = 3<em>x</em>
