(1) Recall the angle sum identity for cosine:
cos(<em>x</em> + <em>y</em>) = cos(<em>x</em>) cos(<em>y</em>) - sin(<em>x</em>) sin(<em>y</em>)
So
cos(<em>π</em>/3) cos(5<em>π</em>/6) - sin(<em>π</em>/3) sin(5<em>π</em>/6) = cos(<em>π</em>/3 + 5<em>π</em>/6)
= cos(7<em>π</em>/6)
= -√(3)/2
(2) Recall the half-angle identity:
cos²(<em>x</em>) = (1 + cos(2<em>x</em>))/2
Since <em>π</em>/2 < 7<em>π</em>/12 < <em>π</em>, you should expect cos(7<em>π</em>/12) < 0. So solving for cos(<em>x</em>) above, we have
cos(<em>x</em>) = -√[(1 + cos(2<em>x</em>))/2]
Then
cos(7<em>π</em>/12) = -√[(1 + cos(7<em>π</em>/6))/2]
= -√[(1 - √(3)/2)/2]
= -√[1/2 - √(3)/4]
You could stop there, or continue and try to de-nest the radicals to end up with
= (√(2) - √(6))/4
(3) Recall the angle sum formula for tangent:
tan(<em>x</em> - <em>y</em>) = (tan(<em>x</em>) - tan(<em>y</em>))/(1 + tan(<em>x</em>) tan(<em>y</em>))
Then
(tan(122°) - tan(32°))/(1 + tan(122°) tan(32°)) = tan(122° - 32°)
= tan(90°)
which is undefined, since tan(<em>x</em>) = sin(<em>x</em>)/cos(<em>x</em>), and cos(90°) = 0.
(4) Recall the double angle identity for sine:
sin(2<em>x</em>) = 2 sin(<em>x</em>) cos(<em>x</em>)
Then
2 sin(15°) cos(15°) = sin(30°)
= 1/2
(5) Use the double angle identity for cosine:
cos(2<em>x</em>) = 2 cos²(<em>x</em>) - 1
Then
12 cos²(<em>θ</em>) - 6 = 6 (2 cos²(<em>θ</em>) - 1)
= 6 cos(2<em>θ</em>)
(6) Use the sine double angle identity mentioned in (4):
7 cos(4<em>x</em>) sin(4<em>x</em>) = 7/2 (2 cos(4<em>x</em>) sin(4<em>x</em>))
= 7/2 sin(8<em>x</em>)
Consult the other question you commented on [19739123 in the URL] for details on (7) and (8).
